Twierdzenie o wartości średniej, School, Matma, Wykłady UW
[ Pobierz całość w formacie PDF ]/0
POCHODNA CZA
1
STKOWA OBLICZANA JEST PO TO, BY UZYSKAC INFORMACJE O TYM JAK ZMIE-
NIA SIE
1
FUNKCJA W KIERUNKU JEDNEJ Z OSI UKLADU WSPOLRZE
1
DNYCH. ROZNICZKE
1
, O ILE IST-
NIEJE, OBLICZAMY PO TO, BY DOWIEDZIEC SIE
1
JAK ZACHOWUJE SIE
1
FUNKCJA W CALYM OTOCZENIU
PUNKTU. POJE
1
CIEM POSREDNIM JEST POCHODNA KIERUNKOWA.
DENICJA 17.1 (POCHODNEJ KIERUNKOWEJ)
POCHODNA
1
FUNKCJI
F
:
G
!
IR
L
W PUNKCIE
P
, W KIERUNKU WEKTORA
V
NAZYWAMY
GRANICE
1
F
(
P
+
T
V
)
F
(
P
)
T
LIM
T
!
0
,
JESLI TA GRANICA ISTNIEJE. TE
1
POCHODNA
1
OZNACZAMY SYMBOLEM
F
V
(
P
) .
JASNE JEST, ZE WLASNIE UOGOLNILISMY POJE
1
CIE POCHODNEJ CZA
1
STKOWEJ:
@F
@X
I
(
P
) =
F
0
E
I
(
P
)
:
POCHODNA KIERUNKOWA W KIERUNKU WEKTORA
V
OBLICZANA JEST PO TO, BY OCENIC TEMPO
ZMIAN FUNKCJI W OTOCZENIU PUNKTU
P
NA PROSTEJ PRZECHODZA
1
CEJ PRZEZ PUNKT
P
ROW-
NOLEGLEJ DO WEKTORA
V
. W PUNKTACH ROZNICZKOWALNOSCI FUNKCJI POCHODNA
1
KIERUNKOWA
1
MOZNA LATWO ZNALEZC PO OBLICZENIU ROZNICZKI FUNKCJI.
TWIERDZENIE 17.2 (O ISTNIENIU POCHODNEJ KIERUNKOWEJ W PUNKTACH
ROZNICZKOWALNOSCI FUNKCJI)
JESLI FUNKCJA
F
:
G
!
IR
L
JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
P
2
G
,
V
2
IR
K
, TO FUNKCJA
F
MA W PUNKCIE
P
POCHODNA KIERUNKOWA
1
W KIERUNKU WEKTORA
V
I ZACHODZI ROWNOSC:
F
LIM
T
!
0
F
(
P
+
T
V
)
F
(
P
)
T
= LIM
T
!
0
F
(
P
+
T
V
)
F
(
P
)
DF
(
P
)(
T
V
)
K
T
V
K
K
T
V
K
T
+
DF
(
P
)
V
=
DF
(
P
)
V
T
, OGRANICZONEGO, I WYRAZENIA
DA
1
ZA
1
CEGO DO
0
MA GRANICE
1
0
ORAZ Z TEGO, ZE
DF
(
P
)(
T
V
) =
TDF
(
P
)
V
I OCZYWISCIE Z
TEGO, ZE
F
JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
P
, Z CZEGO WYNIKA OD RAZU, ZE
K
T
V
K
LIM
T
!
0
F
(
P
+
T
V
)
F
(
P
)
DF
(
P
)(
T
V
)
K
T
V
K
=
0
:
W TEN SPOSOB ZAKONCZYLISMY DOWOD TEGO TWIERDZENIA.
Z TEGO TWIERDZENIA WYNIKA W SZCZEGOLNOSCI, ZE PRZY USTALONYM PUNKCIE
P
PO-
CHODNA
F
V
(
P
) JEST LINIOWA
1
FUNKCJA
1
WEKTORA
V
OCZYWISCIE POD WARUNKIEM ROZNICZKO-
1
0
V
(
P
) =
DF
(
P
)
V
.
DOWOD.
MAMY
0
| SKORZYSTALISMY TU Z TEGO, ZE ILOCZYN WYRAZENIA
0
TWIERDZENIE O WARTOSCI SREDNIEJ, LOKALNE I ABSOLUTNE EKSTREMA
WALNOSCI FUNKCJI
F
W TYM PUNKCIE. OZNACZA TO, ZE
F
V
+
W
(
P
) =
F
V
(
P
) +
F
W
(
P
)
0
DLA DOWOLNYCH LICZB RZECZYWISTYCH
;
I DOWOLNYCH WEKTOROW
V
;
W
2
K
.
CZYTELNIK ZECHCE SPRAWDZIC, ZE JESLI
F
0
0
= 0 I
F
X
Y
=
X
2
Y
X
2
+
Y
2
, GDY PRZYNAJMNIEJ
V
(
0
) =
F
(
V
) DLA KAZDEGO WEKTORA
V
2
IR
K
.
W TYM PRZYPADKU POCHODNA W KIERUNKU WEKTORA
V
W PUNKCIE
0
NIE JEST WIE
1
C LINIOWA
1
FUNKCJA
1
WEKTORA
V
, A CO ZA TYM IDZIE FUNKCJA
F
NIE JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
0
.
ZACHE
1
CAMY DO SPRAWDZENIA, ZE
F
JEST W TYM PUNKCIE CIA
1
GLA.
POWTORZMY: Z ROZNICZKOWALNOSCI FUNKCJI W PUNKCIE WYNIKA ISTNIENIE POCHODNYCH
KIERUNKOWYCH W TYM PUNKCIE WE WSZYSTKICH KIERUNKACH, W SZCZEGOLNOSCI ISTNIENIE
POCHODNYCH CZA
1
STKOWYCH. Z ISTNIENIA POCHODNYCH CZA
1
STKOWYCH NIE WYNIKA NAWET
CIA
1
GLOSC FUNKCJI { WIDZIELISMY TO NA PRZYKLADZIE FUNKCJI
0
X
2
+
Y
2
. MOZNA PODAC PRZYKLAD
FUNKCJI KTORA W PEWNYM PUNKCIE MA POCHODNE KIERUNKOWE WE WSZYSTKICH KIERUNKACH
I TO ROWNE 0 I JEDNOCZESNIE NIE JEST CIA
1
GLA W TYM PUNKCIE. OZNACZA TO, ZE ZBADA-
NIE ZACHOWANIA SIE
1
FUNKCJI NA PROSTYCH PRZECHODZA
1
CYCH PRZEZ DANY PUNKT TO JEDYNIE
WSTE
1
P DO ZBADANIA ZACHOWANIA SIE
1
TEJ FUNKCJI W
OTOCZENIU
TEGO PUNKTU. TYCH KWESTII
NIE BE
1
DZIEMY JEDNAK DOKLADNIE ANALIZOWAC, BO TO WYKRACZA ZNACZNIE POZA POTRZEBY
WIE
1
KSZOSCI CHEMIKOW.
DENICJA 17.3 (GRADIENTU FUNKCJI)
WEKTOR GRAD
F
(
P
) NAZYWAMY GRADIENTEM FUNKCJI
F
ROZNICZKOWALNEJ W PUNKCIE
P
,
JESLI
DF
(
P
)
V
= GRAD
F
(
P
)
V
DLA KAZDEGO WEKTORA
V
2
K
.
XY
!
| ROZ-
NICA MIE
1
DZY GRADIENTEM I ROZNICZKA
1
JEST NA TYM ETAPIE CZYSTO FORMALNA. ROZNICZKA TO
MACIERZ (EWENTUALNIE PRZEKSZTALCENIE LINIOWE), A GRADIENT TO WEKTOR.
ROZWAZMY TERAZ FUNKCJE
1
F
:
G
!
IR ROZNICZKOWALNA
1
W PUNKCIE
P
2
G
. NIECH
V
I
W
OZNACZAJA
1
TAKIE WEKTORY, ZE
K
V
K
=
K
GRAD
F
(
P
)
K
I
W
= GRAD
F
(
P
) . MAMY WTEDY
F
@X
1
(
P
)
;
@F
@X
1
(
P
)
;:::;
@F
@X
K
(
P
)
V
(
P
) =
DF
(
P
)
V
=
V
GRAD
F
(
P
) =
V
W
K
V
KK
W
K
=
K
W
K
2
=
F
W
(
P
) .
WYKAZALISMY WIE
1
C
TWIERDZENIE 17.4 (O KIERUNKU NAJSZYBSZEGO WZROSTU FUNKCJI)
POCHODNA FUNKCJI
F
W KIERUNKU GRADIENTU FUNKCJI W DANYM PUNKCIE
P
JEST NAJWIE
1
KSZA
1
SPOSROD WSZYSTKICH POCHODNYCH W TYM PUNKCIE W KIERUNKU WEKTOROW O DLUGOSCI
K
GRAD
F
(
P
)
K
.
ZWYKLE MOWIMY, ZE GRADIENT WSKAZUJE KIERUNEK NAJSZYBSZEGO WZROSTU FUNKCJI, BO
POCHODNA MIERZY TEMPO ZMIAN FUNKCJI, JESLI POCHODNA JEST DODATNIA TO FUNKCJA ROSNIE.
ROZWAZANIE JEDYNIE WEKTOROW O DANEJ DLUGOSCI JEST KONIECZNE, BO
F
V
(
P
) =
F
V
(
P
)
2
0
0
JEDNA Z LICZB
X
,
Y
JEST ROZNA OD 0, TO
F
@F
Z DENICJI WYNIKA OD RAZU, ZE GRAD
F
(
P
) =
0
0
0
0
TWIERDZENIE O WARTOSCI SREDNIEJ, LOKALNE I ABSOLUTNE EKSTREMA
DLA DOWOLNEGO PUNKTU
P
, DOWOLNEGO WEKTORA
V
I DOWOLNEJ LICZBY RZECZYWISTEJ
,
A MY CHCEMY POROWNYWAC TEMPO WZROSTU FUNKCJI WZDLUZ PROSTYCH PRZECHODZA
1
CYCH
PRZEZ PUNKT
P
OCZYWISCIE PRZY ZALOZENIU, ZE PO KAZDEJ PROSTEJ PORUSZAMY SIE
1
Z TA
1
SAMA
1
PRE
1
DKOSCIA
1
| PODANY W TYM ZDANIU WZOR STWIERDZA PO PROSTU, ZE ZMIANA PRE
1
DKOSCI
PORUSZANIA SIE
1
PO PROSTEJ PRZECHODZA
1
CEJ PRZEZ
P
POWODUJE WZROST PRE
1
DKOSCI ZMIAN
FUNKCJI W TAKIM SAMYM STOSUNKU. W ISTOCIE RZECZY SLOWO GRADIENT NIE JEST NIEZBE
1
DNE
W TYM WYKLADZIE, ALE PONIEWAZ JEST ONO UZYWANE POWSZECHNIE WE WSZYSTKICH JE
1
ZYKACH,
WIE
1
C MY TEZ GO UNIKAC NIE BE
1
DZIEMY.
TWIERDZENIE 17.5 (O ROZNICZCE ZLOZENIA DWU FUNKCJI)
ZALOZMY, ZE FUNKCJA
G
JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
P
A FUNKCJA
F
W PUNKCIE
G
(
P
)
ORAZ ZE ZLOZENIE
F
G
JEST ZDENIOWANE, TJ. DZIEDZINA FUNKCJI
F
ZAWIERA ZBIOR WARTOSCI
FUNKCJI
G
. WTEDY ZLOZENIE
F
G
JEST ROZNICZKOWALNE W PUNKCIE
P
I ZACHODZI ROWNOSC:
D
(
F
G
)(
P
) =
DF
(
G
(
P
))
DG
(
P
) , TU KROPKA OZNACZA MNOZENIE MACIERZY.
DOWOD.
NIECH
R
(
H
) =
G
(
P
+
H
)
G
(
P
)
DG
(
P
)
H
K
H
K
I
%
(
0
) =
0
, W
PUNKCIE
0
.
MAMY TERAZ
F
(
G
(
P
+
H
)) =
F
(
G
(
P
)) +
DF
(
G
(
P
))
G
(
P
+
H
)
G
(
P
)
+
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
+
%
G
(
P
+
H
)
G
(
P
)
G
(
P
+
H
)
G
(
P
)
=
=
F
(
G
(
P
)) +
DF
(
G
(
P
))
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
+
+
%
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
=
=
F
(
G
(
P
)) +
DF
(
G
(
P
))
DG
(
P
)
H
+
+
K
H
K
DF
(
G
(
P
))
R
(
H
) +
%
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
DG
(
P
)
K
H
K
+
R
(
H
)
.
JASNE JEST, ZE WYRAZENIE
DG
(
P
)
K
H
K
+
R
(
H
)
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
JEST OGRANICZONE ORAZ ZE ZACHODZI
ROWNOSC LIM
H
!
0
DF
(
G
(
P
))
R
(
H
) +
%
=
0
, A STA
1
D JUZ LATWO WYNIKA,
DF
(
G
(
P
))
R
(
H
) +
%
ZE LIM
H
!
0
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
DG
(
P
)
K
H
K
+
R
(
H
)
=
0
, CZYLI ZE
LIM
H
!
0
F
(
G
(
P
+
H
))
F
(
G
(
P
))
DF
(
G
(
P
))
DG
(
P
)
H
K
H
K
=
0
, A TO OZNACZA, ZE
D
(
F
G
)(
P
) =
DF
(
P
)
DG
(
P
)
:
DOWOD ZOSTAL ZAKONCZONY.
3
K
H
K
DLA
H
6
=
0
I
R
(
0
) =
0
. WOBEC TEGO
G
(
P
+
H
) =
G
(
P
) +
DG
(
P
)
H
+
R
(
H
)
K
H
K
. ROZNICZKOWALNOSC FUNKCJI
G
W PUNKCIE
P
TO
PO PROSTU CIA
1
GLOSC FUNKCJI
R
W PUNKCIE
0
.
ANALOGICZNIE ROZNICZKOWALNOSC FUNKCJI
F
W PUNKCIE
G
(
P
) TO CIA
1
GLOSC FUNKCJI
%
,
ZDENIOWANEJ ZA POMOCA
1
ROWNOSCI
%
(
H
) =
F
(
G
(
P
)+
H
)
G
(
P
)
DF
((
P
))
H
TWIERDZENIE O WARTOSCI SREDNIEJ, LOKALNE I ABSOLUTNE EKSTREMA
JESLI STUDENCI ZECHCA
1
, TO MOGA
1
ZAUWAZYC, ZE TEN DOWOD W ISTOCIE RZECZY SUGERUJE,
ZE MOZNA (I W RZECZYWISTOSCI NALEZY) MYSLEC O WYDZIELANIU CZE
1
SCI STALEJ (
F
(
G
(
P
)) ),
A NASTE
1
PNIE LINIOWEJ (
DF
(
G
(
P
))
DG
(
P
)
H
) PRZEKSZTALCENIA, GDY USILUJEMY ZNALEZC JEGO
ROZNICZKE
1
W DANYM PUNKCIE. MOZNA TO PRZESLEDZIC NA JAKIMS PRZYKLADZIE, CZEGO W
TYM MIEJSCU NIE ZROBIMY, ALE ZACHE
1
CAMY CZYTELNIKOW DO SAMODZIELNEGO ZNALEZIENIA CO
NAJMNIEJ JEDNEJ POCHODNEJ W TEN SPOSOB.
NASTE
1
PNE TWIERDZENIE PODAMY BEZ DOWODU.
TWIERDZENIE 17.6 (O ROZNICZCE FUNKCJI ODWROTNEJ)
ZALOZMY, ZE FUNKCJA
F
:
G
!
IR
L
JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
P
ZBIORU OTWARTEGO
G
IR
K
, ZE JEJ ZBIOR WARTOSCI JEST OTWARTY W IR
L
, ZE ROZNICZKA
DF
(
P
) JEST MACIERZA
1
ODWRACALNA
1
ORAZ ZE FUNKCJA
F
JEST ROZNOWARTOSCIOWA I FUNKCJA ODWROTNA
F
1
JEST
CIA
1
GLA W PUNKCIE
F
(
P
) . WTEDY FUNKCJA
F
1
JEST ROZNICZKOWALNA W PUNKCIE
F
(
P
) I
ZACHODZI ROWNOSC
D
(
F
1
)(
P
) = (
DF
(
P
))
1
.
WARTO JEDYNIE ZAZNACZYC, ZE GLOWNYM PROBLEMEM W TYM TWIERDZENIU JEST ISTNIE-
NIE ROZNICZKI PRZEKSZTALCENIA ODWROTNEGO. SAM WZOR JEST KONSEKWENCJA
1
TWIERDZENIA O
POCHODNEJ ZLOZENIA DWU FUNKCJI (
F
I
F
1
).
DWA OSTATNIE TWIERDZENIA POKAZUJA
1
, ZE NALEZY MYSLEC O POCHODNEJ (ROZNICZCE)
FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH JAKO O MACIERZY. DODAC NALEZY, ZE TWIERDZENIE O ROZNICZCE
ZLOZENIA DWU FUNKCJI TO JEDNA Z GLOWNYCH PRZYCZYN, DLA KTORYCH MNOZENIE MACIERZY
JEST ZDENIOWANE WLASNIE W TAKI SPOSOB.
POKAZEMY JEDNO Z LICZNYCH ZASTOSOWAN TEGO TWIERDZENIA. NIECH
: (
1
;
1)
!
K
BE
1
DZIE FUNKCJA
1
ROZNICZKOWALNA
1
. WTEDY WEKTOR
0
(
T
) TO WEKTOR PRE
1
DKOSCI CHWILOWEJ W MOMENCIE
T
. OCZYWISCIE PRE
1
DKOSC JEST
STYCZNA DO DROGI. TE KILKA ZDAN TO OCZYWISCIE AGITACJA, ALE JEDNA Z DENICJI WEKTORA
STYCZNEGO DO KRZYWEJ TO WLASNIE ONE (PO OPUSZCZENIU TRESCI ZYCZNEJ, KTORA JEST PRZY-
CZYNA
1
PRZYJE
1
CIA WLASNIE TAKIEJ DENICJI WEKTORA STYCZNEGO) . W SZCZEGOLY WCHODZIC
NIE BE
1
DZIEMY Z BRAKU CZASU.
ZALOZMY, ZE
F
:
K
!
I
: (
1
;
1)
!
K
SA
1
FUNKCJAMI ROZNICZKOWALNYMI
ORAZ ZE ISTNIEJE TAKA LICZBA
C
, ZE
F
(
T
)
(0)
=
C
DLA
T
2
(
1
;
1) . WTEDY
(0)
0 = (
F
)
0
(0) =
DF
0
(0) = GRAD
F
0
(0) .
4
(
T
0
) JEST STYCZNY W PUNKCIE
(
T
0
)
DO OBRAZU FUNKCJI
, CZYLI DO KRZYWEJ ZLOZONEJ ZE WSZYSTKICH PUNKTOW POSTACI
(
T
) ,
T
2
(
1
;
1) . NALEZY MYSLEC, ZE W CHWILI
T
PORUSZAJA
1
CY SIE
1
PUNKT MATERIALNY ZNAJ-
DUJE SIE
1
W MIEJSCU
(
T
) . W TAKIEJ SYTUACJI NATURALNYM POMYSLEM JEST PRZYJE
1
CIE, ZE
WEKTOR
0
TWIERDZENIE O WARTOSCI SREDNIEJ, LOKALNE I ABSOLUTNE EKSTREMA
(0) SA
1
PROSTOPADLE. JESLI POPROWA-
DZIMY PRZEZ PUNKT
P
:=
(0) WSZYSTKIE MOZLIWE KRZYWE ROZNICZKOWALNE, TO OTRZY-
MAMY WSZYSTKIE WEKTORY STYCZNE DO ŸPOWIERZCHNI"
F
(
X
) =
C
W PUNKCIE
P
. KAZDY Z
NICH JEST PROSTOPADLY DO GRADIENTU FUNKCJI
F
W PUNKCIE
P
. OZNACZA TO, ZE GRADIENT JEST
PROSTOPADLY DO ŸPLASZCZYZNY"* JESLI TEN GRADIENT JEST NIEZEROWY, TO MOZEMY ZNALEZC
ROWNANIE ŸPLASZCZYZNY STYCZNEJ".
(0)
I
0
SIN
6
= 0 , CZYLI
P
2
M
. WEKTORY STYCZNE DO ZBIORU
M
(CZYLI DO
SINUSOIDY) W PUNKCIE
P
SA
1
PROSTOPADLE DO WEKTORA
1
2
2
;
1) .
JESLI PUNKT (
X;Y
) LEZY NA STYCZNEJ DO
M
W PUNKCIE
P
, TO
0 = (
P
GRAD
F
(
6
;
2
) = (
COS
6
;
1) = (
P
3
2
(
X
6
) + (
Y
2
) .
CZYTELNIK BEZ TRUDU ROZPOZNA ROWNANIE PROSTEJ STYCZNEJ DO SINUSOIDY W PUNKCIE
P
= (
6
;
2
) , KTORE POPRZEDNIO OTRZYMYWALISMY NIECO INACZEJ. ZAUWAZY TEZ, ZE W PRZY-
PADKU WYKRESU DOWOLNEJ FUNKCJI ROZNICZKOWALNEJ OTRZYMANY NA OPISANEJ TERAZ DRODZE
REZULTAT BE
1
DZIE IDENTYCZNY Z UZYSKIWANYM PRZEZ SKORZYSTANIE Z DENICJI PROSTEJ STYCZ-
NEJ DO WYKRESU FUNKCJI PODANEJ W PIERWSZYM SEMESTRZE.
2
;
1)
(
X
6
;Y
2
) =
P
3
P
14 . ZNAJDZIEMY PLASZCZYZNE
1
STYCZNA
1
DO TEJ
SFERY W PUNKCIE
P
= (1
;
2
;
3) . MAMY GRAD
F
(1
;
2
;
3) = (2
;
4
;
6) .
JESLI (
X;Y;Z
)
2
, TO
0 = (
X
1
;Y
+ 2
;Z
3)
(2
;
4
;
6) = 2(
X
1)
4(
Y
+ 2) + 6(
Z
3) .
OTRZYMALISMY ROWNANIE PLASZCZYZNY STYCZNEJ DO SFERY
M
W PUNKCIE (1
;
2
;
3) .
I
OZ
. ROWNANIE (
X
7)
2
+
Z
2
= 25 MOZEMY PRZEPISAC W POSTACI 14
X
=
X
2
+
Z
2
+ 24 .
Z TEGO ROWNANIA WYNIKA, ZE 196
X
2
= (
X
2
+
Z
2
+ 24)
2
PRZY CZYM TO OSTATNIE ROWNANIE
ROWNOWAZNE JEST POPRZEDNIEMU PRZY ZALOZENIU, ZE
X
0 . ZASTE
1
PUJA
1
C
X
2
W ROWNANIU
*
TO NIE ZAWSZE JEST PLASZCZYZNA, NP. ZWYKLE WYMIAR ROWNY JEST
K
1 , WIE
1
C DLA
K>
3 MOWIMY NA OGOL
O PRZESTRZENI STYCZNEJ DO POWIERZCHNI
F
(
X
)=
C
.
5
WYKAZALISMY, ZE WEKTORY GRAD
F
F
(
6
;
2
) =
PRZYKLAD 17.1
NIECH
F
(
X;Y
) =
Y
SIN
X
I NIECH
C
= 0 . ZBIOR
M
ZDENIOWANY
ROWNANIEM 0 =
F
(
X;Y
) TO WYKRES FUNKCJI SINUS. NIECH
P
= (
6
;
2
) . MAMY WIE
1
C
3
PRZYKLAD 17.2
NIECH
F
(
X;Y;Z
) =
X
2
+
Y
2
+
Z
2
I NIECH
C
= 14 . NIECH
M
BE
1
DZIE
ZBIOREM ZLOZONYM Z TYCH PUNKTOW (
X;Y;Z
) , DLA KTORYCH ZACHODZI ROWNOSC
14 =
C
=
F
(
X;Y;Z
) =
X
2
+
Y
2
+
Z
2
.
OCZYWISCIE
P
:= (1
;
2
;
3)
2
M
. ZBIOR
M
JEST SFERA
1
, KTOREJ SRODKIEM JEST PUNKT
(0
;
0
;
0) I KTOREJ PROMIEN JEST ROWNY
PRZYKLAD 17.3
UKLAD ROWNAN
Y
= 0 I (
X
7)
2
+
Z
2
= 25 OPISUJE OKRA
1
G O SRODKU
W PUNKCIE (7
;
0
;
0) I PROMIENIU 5 LEZA
1
CY W PLASZCZYZNIE WYZNACZONEJ PRZEZ OSIE
OX
[ Pobierz całość w formacie PDF ]