TSiP 2012 M Pol Buzalski R Czapiewski-tekst - tarcza, tsip wykłady3 I semestr mgr
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Zacynaiodlajdu3
- onacaprejciedokolejnegolajdu
Jeżeligruboćtarcy
h
jetbardomała,tomożemypryjąć,żekładowenaprżenia
σ
z
, τ
zx
i
τ
zy
ą
równe0Tymamymwytkiepowierchnieelementarne,równoległedopłacynyrodkowej,ą
wolneodnaprżeńimamydocynieniapłakimtanemnaprżenia
Składowe
σ
x
, σ
y
i τ
xy
tanowią wielkoci okrelające płaki tan naprżenia w układie
kartejańkimipouwgldnieniuwarunku(1)pełniają warunkirównowagi,cyli równania(2)
Zuwaginato,że
τ
zx
i
τ
zy
równieżodktałceniakątoweąrówneeru
γ
zx
i
γ
zy
pre,copootałe
wiąkipredtawiająinatpująco(3)
Prywynacaniuiłwewntrnychiodktałceńmamydodypoycjiwarunkirównowagi,ależnoci
geometrycneirównaniawiążącenaprżeniawydłużeniamiWprypadkuPSN,jeżelipominiemy
iłyobjtociowe,torównaniarównowagi(2)bdąpełnione,jeżelikładowenaprżeniawyraimy
prepewnąunkcjF(xy),
wedługnatpującychależnoci(4)
byrównieżwarunkiujteweworach(3)byłypełnione,unkcjamuirównieżpełniaćokrelone
równanieróżnickowe,naywanewarunkiemnierodielnoci(5)
W efekcie po wprowadeniu wyrażeń na kładowe odktałcenia równanie prybiera potać
równaniaróżnickowegocwartegordu,naywanegorównaniemtarcy(6) Ostatecznie mamy
docynienia unkcją biharmonicną, nieależną od tałych prżytoci (E, v, cy G), a
wyprowadoneależnociobowiąujądlakażdegojednorodnego,iotropowegomateriału,który
podlegaprawuHooke’a
Prejcieukładupłakiego/protokątnegojetkorytnewtedy,gdycćbregutarcyutworona
jetprełukkołaWtedywarto atoowaćamiatwpółrdnychkartejańkichx,y,wpółrdne
r, ϕMidytymiwpółrdnymiachodąnatpującewiąki(7)
PSNwpunkcieowpółrdnychr,ϕ okrelonyjetwtedykładowyminaprżeniaσ
r
,σ
ϕ
oraτ
rϕ
byutalićależnocipomidytymikładowymi,akładowymiukładukartejańkiego,piemy
warunki równowagi ił dla kierunków x i y W eekcie otrymujemy (8), co po protych
prektałceniachprowadidorównania(9),aonopoumowaniutronamidowodi,żeuma
naprżeń normalnychdladwóchprotopadłychdoiebiekierunkówpoiadatałąwartoć(10)
Nabieżącymlajdiepokaanejetporównanieobuukładów
RównanietarcydlaFjakounkcjir,ϕ pryuwgldnieniuależnocipredtawiaiworem(11),a
takżepodobnie wzorem (12)
OtatecniepryatoowaniuoperatoraLaplace’a otrymamyrównanietarcywewpółrdnych
biegunowych(13),atakżeworynaoblicanienaprżeń(14)
StannaprżeniapredtawionyprypomocycałkicególnejwpotaciF = Cr
2
jetnieależnyodϕ, a
wicσ
r
,σ
ϕ
ąnaprżeniamigłównymi,poiadajątakąamąwielkoćipredtawiająiworami
(15)Tarcajetatemwwojejpłacyniejednakowowewytkichkierunkachrociąganaiłą
wielkoci2Cnajednotkpowierchni
WprypadkuunkcjinaprżeńwpotaciF = Cr
2
sin
2
ϕ otrymujemykładowewpotaci(15),atąd
przy podstawieniu ϕ =0σ
r
=2C,σ
ϕ
=0,τ
rϕ
=0Onacato,żewkierunku ϕ = 0, tarcza jest
rociąganaoiowowielkociąσ=0
WprypadkuunkcjinaprżeńwpotaciF = Cr
2
cos
2
ϕ, po podstawieniu wzoru cos2 ϕ = cos
2
ϕ – sin
2
ϕ
unkcjFmożnarodielićnaunkcjnaprżeńdlaoiowegorociąganiawkierunuϕ = π/2 i na
unkcjoiowegocikaniawkierunkuϕ =0FunkcjaFokrelazatem w tej formie stan czystego
odktałceniapotaciowegoGłównenaprżenianormalneigłównenaprżeniatycnemająpry
tymwielkoć+- 2C. Oprócwpomnianychtutajprykładówpryjciaunkcjiitniejerównież
Tarcawpotaciklinapoiadabregiν=+- αWobarey>=0rociąganajetwniekońconoć
DiałającąwwierchołkuiłRrołożymynakładoweXoraYiropatrymykażdediałań
kładowychoddielnie
DiałanieiłyXOpierającinaworenaprżeńwewpółrdnychbiegunowychdlapółpłacyny
obciążonejiłątycnąnabregu
iwtawiającdoniegoν=1/2π– ϕ równaniapryjmąpotać(19)Wdłużprekrojówradialnych,
wychodącychpunktupryłożeniaiły,nieąprenooneżadneiływewntrneMożemywic
poprowadićprekrojeν=+- α,niemieniającnicwtanienaprżeniapółpłacynyRównania(19)
opiują atemtannaprżeniawtarcyklinowejMuimyjedynieobciążeniePpółpłacyny
wyraićprecćXodPprypadającąnatarcklinowąPodokonaniuniebdnychobliceń
otrymujemy wór
i podtawiając go do równania (19) otrymujemy kładowe
naprżeniawpotaci(20)
Wprypadkudiałaniaiłyrównoległejdooiklinatarcowego,korytamywtedyponownie
prektałcenia równania dla półpłacyny, wtawiając ν = 1/2π – ϕ
WynacamyponowniecćiłyP,wyrażonąpreY
iprypadającąnaklin ,wtawiamydoworu(21)iotrymujemyotatecnywór
nakładowenaprżeniawpotaciworu(22)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]