Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczności, SiMR, SEMESTR3, Wytrzymałość materiałów I
[ Pobierz całość w formacie PDF ]A. Zaborski, Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
Oprócz no
no
ci przekroju (spr
ystej i plastycznej) u
ywane jest tak
e poj
cie no
no
ci gra-
nicznej konstrukcji, czyli najwi
kszego obci
enia przenoszonego przez konstrukcj
(inaczej:
obci
enia niszcz
cego
). Tzw.
twierdzenia ekstremalne
teorii no
no
ci granicznej wynikaj
z
zasady prac wirtualnych i dostarczaj
dolnego i górnego oszacowania no
no
ci granicznej
układu.
Statycznie
dopuszczalnym
nazywamy takie pole napr
e
, które jest niesprzeczne z no
no-
ci
plastyczn
układu.
Dla schematyzacji Prandtla (model ciała idealnie spr
ysto-plastycznego) oznacza to spełnie-
nie warunku
s
£
R
e
w ka
dym punkcie albo
M
£ w ka
dym przekroju belki zginanej.
Kinematycznie
dopuszczalnym nazywamy takie pole przemieszcze
, które jest niesprzeczne z
istniej
cymi wi
zami.
Oznacza to np. brak ugi
cia na podporze belki czy brak obrotu osi belki w utwierdzeniu.
Twierdzenie o oszacowaniu dolnym
Konstrukcja nie ulegnie zniszczeniu je
eli dla zadanego obci
enia mo
e by
znalezione sta-
tycznie dopuszczalne pole napr
e
.
Innymi słowy, je
li dla zadanego obci
enia mo
na znale
równowa
ce je napr
enia, b
-
d
ce statycznie dopuszczalnymi, to konstrukcja znajduje si
w zakresie bezpiecznej pracy,
b
d
co najwy
ej na jego brzegu. Przeniesienie obci
enia nie implikuje przekroczenia do-
puszczalnych warto
ci napr
enia — no
no
konstrukcji jest nie mniejsza od takiego obci
-
enia. Jest to wi
c oszacowanie od dołu.
Twierdzenie o oszacowaniu górnym
Konstrukcja zamienia si
w mechanizm (ulega zniszczeniu), je
li dla kinematycznie dopusz-
czalnego pola przemieszcze
przyrost pracy sił zewn
trznych równy jest przyrostowi pracy
sił wewn
trznych.
Inaczej mówi
c, je
eli dla zrównowa
enia istniej
cego obci
enia potrzebna jest zamiana
konstrukcji w mechanizm, to obci
enie to jest nie mniejsze od granicznego (niszcz
cego).
Obci
enie powoduj
ce powstanie mechanizmu jest wi
c oszacowaniem od góry.
Atrakcyjno
powy
ej sformułowanych twierdze
wynika z łatwo
ci uzyskania oszacowa
.
Jest to szczególnie widoczne w przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, dla któ-
rych obliczenia s
prostsze ni
w spr
ystym zakresie pracy. Umiej
tne zastosowanie twier-
dze
ekstremalnych, umo
liwia okre
lenie przedziału rozwi
zania
cisłego, którego dokładna
warto
cz
sto nie jest niezb
dna.
Odkształcenia plastyczne koncentruj
si
w pewnych obszarach, jak np.
przeguby plastyczne
dla belek zginanych. Poza obszarami takiej lokalizacji odkształcenia s
znacznie mniejsze.
Mo
na przyj
z dobrym przybli
eniem,
e konstrukcja posiada szereg obszarów nie od-
kształconych, doznaj
cych jedynie ruchu jako ciała sztywne. W ten sposób konstruuje si
schematy zniszczenia
konstrukcji, kiedy konstrukcja zamienia si
w mechanizm.
Mo
liwe s
dwa sposoby otrzymania ko
cowego schematu zniszczenia konstrukcji. Pierwszy
sposób polega na wprowadzaniu kolejnych obszarów lokalizacji odkształce
(przegubów) a
do zamiany konstrukcji w mechanizm. Drugi – polega na przyj
ciu obszarów lokalizacji od-
kształce
od razu w takiej ilo
ci, która powoduje zamian
konstrukcji na mechanizm.
M
x
A. Zaborski, Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
Je
eli otrzymane rozwi
zanie b
dzie zarówno statycznie jak i kinematycznie dopuszczalne, to
b
dzie ono rozwi
zaniem
cisłym. Wówczas oszacowanie od góry jest równe oszacowaniu od
dołu.
Stwierdzenie odwrotne równie
jest prawdziwe: je
eli oszacowania od góry i od dołu pokry-
waj
si
, to rozwi
zanie jest
cisłe a schematy zniszczenia (statycznie dopuszczalny i kinema-
tycznie dopuszczalny) s
identyczne.
Przykład: kratownica
Okre
li
no
no
kratownicy dla danych:
F
1
= 2 cm
2
,
F
2
= 3 cm
2
,
F
3
= 4 cm
2
, k
t a = p/6,
R
e
= 200 MPa.
1
2
3
N
1
N
2
N
3
a a
P
P
a) Oszacowanie od dołu metod
statycznie dopuszczalnych pól napr
e
Rozwi
zania poszukiwa
b
dziemy metod
schematów zniszczenia. Zakładamy uplastycz-
nienie tylu pr
tów ile potrzeba do zamiany układu w mechanizm. W tym przypadku istniej
3
takie mo
liwo
ci i przeanalizujemy je kolejno.
Schemat 1
Zakładamy uplastycznienie pr
ta 1 i 2:
N
1
=
N
1
=
F
1
R
e
=
40
kN,
N
2
=
N
2
=
F
2
R
e
=
60
kN
.
Z równa
równowagi dla w
zła kratownicy mamy:
N
.
Sprawdzamy, czy napr
enie w pr
cie 3 nie przekracza granicy plastyczno
ci:
3
=
N
1
,
P
=
N
2
+
1
(
N
3
+
N
1
)
=
100
kN
N
40
×
10
3
s
=
3
=
=
100
MPa
<
R
,
F
4
×
10
-
4
3
a wi
c przyj
te pole napr
e
jest statycznie dopuszczalne. Dla tego schematu otrzymujemy
wi
c oszacowanie:
P
=
100
kN
.
Schemat 2
Zakładamy uplastycznienie pr
ta 1 i 3:
N
.
Z równa
równowagi od razu wynika brak równowagi: SX ¹ 0. Taki schemat jest wi
c sta-
tycznie niedopuszczalny.
Schemat 3
Zakładamy uplastycznienie pr
ta 2 i 3:
1
=
N
1
=
F
1
R
e
=
40
kN,
N
3
=
N
3
=
F
3
R
e
=
80
kN
N
2
=
N
2
=
F
2
R
e
=
60
kN,
N
3
=
N
3
=
F
3
R
e
=
80
kN
.
Z równania SX = 0 mamy:
s
.
Z faktu przekroczenia granicy plastyczno
ci wynika
e równie
i ten schemat jest statycznie
niedopuszczalny.
Ostateczn
odpowied
stanowi wynik schematu 1:
N
1
=
N
3
=
80
kN,
sk
d:
1
=
400
MPa
>
R
e
P
=
100
kN
.
2
A. Zaborski, Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
b) Oszacowanie od góry metod
kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszcze
Ponownie zastosujemy metod
schematów zniszczenia. Aby układ zamienił si
w mecha-
nizm, potrzeba uplastycznienia 2 pr
tów. Zakładamy,
e b
d
to pr
ty 1 i 2. Wówczas ruch
układu b
dzie odbywał si
wokół pr
ta 3, traktowanego jako sztywny (odkształcenia spr
y-
ste s
pomijalnie małe).
(do p.3)
D
1
D
2
D
/3
/3
Z rysunku wynika,
e
D
1
=
D
2
=
D
sin
p
3
. Porównanie pracy sił zewn
trznych i wewn
trz-
nych:
P
D
2
=
N
1
D
1
+
N
2
D
2
=
D
2
(
N
1
+
N
2
)
,
daje:
NP
.
Poniewa
uzyskali
my identyczny wynik jak dla oszacowania z dołu, jest to rozwi
zanie do-
kładne i nie ma potrzeby analizowa
kolejnych schematów: minimum zostało osi
gni
te.
Aby si
jednak przekona
,
e tak jest w istocie, rozpatrzmy inny schemat: uplastycznienia
pr
tów 2 i 3.
=
+
N
=
(
F
+
F
)
R
=
5
×
10
-
4
×
200
×
10
6
=
100
kN
1
2
1
2
e
(do p.1)
D
3
D
/3
/3
D
2
Z rysunku ruchu układu wokół pr
ta 1 (sztywnego) i porównania prac sił zewn
trznych i we-
wn
trznych wynika:
P
D
2
=
N
2
D
2
+
N
3
D
3
=
D
2
(
N
2
+
N
3
)
,
sk
d mamy kolejne oszacowanie od góry:
NP
.
Zgodnie z przewidywaniem, uzyskane oszacowanie jest gorsze (z nadmiarem).
Jak wida
metoda statycznie dopuszczalnych pól napr
e
jest prostsza w zastosowaniu do
kratownic, gdy
w metodzie kinematycznej nie mo
emy unikn
zapisu równa
geometrycz-
nych. Dla belek jest akurat odwrotnie, co pokazuje nast
pny przykład.
=
+
N
=
(
F
+
F
)
R
=
7
10
-
4
×
200
10
6
=
140
kN
2
3
2
3
e
Przykład: belka zginana
P
2P
A
B
C
D
2 1 1
Okre
lenia no
no
ci belki z rysunku b
dziemy poszukiwali okre
laj
c oszacowanie górne i
dolne rozwi
zania.
a) statycznie dopuszczalne pola napr
e
Zastosujemy metod
kolejnych przegubów plastycznych. Przeguby plastyczne tym ró
ni
si
od „normalnych” przegubów,
e wyst
puje w nich moment zginaj
cy równy no
no
ci pla-
×
×
A. Zaborski, Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
stycznej przekroju,
M
, o zwrocie zgodnym z rozci
ganymi włóknami. Aby okre
li
przekrój
w którym powstanie ekstremalny moment zginaj
cy, nale
y najpierw znale
wykres momen-
tów dla belki statycznie niewyznaczalnej. Jednak z uwagi na liniowy odcinkami wykres mo-
mentu, w gr
wchodz
jedynie 3 przekroje: utwierdzenie i pod siłami skupionymi, co daje 3
mo
liwo
ci wyboru pierwszego przegubu plastycznego.
Schemat 1
M
P
2P
A
B
C
D
2
1
1
R
D
R
A
Wprowadzenie przegubu plastycznego w przekroju A czyni belk
statycznie wyznaczaln
:
-=
Poniewa
M
B
<
M
C
, przyjmijmy kolejny przegub plastyczny w przekroju C. Otrzymamy
wówczas oszacowanie no
no
ci belki oraz wynikowy moment w przekroju B:
M
R
=
P
+
M
,
R
=
2
P
-
M
, oraz:
M
2
P
M
,
M
=
2
P
-
M
A
4
D
4
B
2
C
4
5
,
.
Poniewa
M
B
jest mniejszy od momentu granicznego plastycznego, schemat jest statycznie
dopuszczalny. Łatwo sprawdzi
,
e przyj
cie 2. przegubu plastycznego w przekroju B dawa-
łoby moment
M
C
= 1.25
M
>
M
, co jest statycznie niedopuszczalne. Rozwi
zaniem dla tego
schematu jest
P
=
8
M
M
B
=
3
M
<
P
=
5
M
.
Schemat 2
M
u
M
P
2P
A
B
C
D
2
1
1
R
A
R
D
Je
li przyjmiemy powstanie pierwszego przegubu plastycznego w przekroju B, to mamy:
2
R
D
=
P
+
M
,
R
B
=
P
-
M
2
,
M
A
4=
,
P
M
C
=
P
+
M
2
.
Przyjmuj
c powstanie kolejnego przegubu w p.A, mamy:
M
1
,
(dopuszczalny)
Je
li natomiast przyjmiemy kolejny przegub w p.C, dostajemy:
2
P
=
4
M
M
C
=
3
M
<
P
=
M
, oraz
M
A
= 2
M
>
M
(niedopuszczalny).
Dla tego schematu odpowiedzi
jest:
P
=
1
M
.
4
Schemat 3
M
u
P
M
2P
A
B
C
D
2
1
1
R
A
R
D
Na koniec, przyjmuj
c powstanie pierwszego przegubu w przekroju C, mamy:
M
R
D
=
,
R
C
=
-
M
,
M
B
=
2 -
M
2
P
,
M
A
=
-
4 +
M
8
P
.
Dla kolejnego przegubu, powstałego w p.A, mamy:
M
P
=
5
,
M
B
=
3
M
<
M
, (dopuszczalny)
4
8
4
8
4
A. Zaborski, Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno
ci
a dla drugiego przegubu w p.B, jest:
M
P
=
1
,
M
A
= 0
<
M
, (dopuszczalny).
=
.
Ostatecznie wi
c no
no
graniczna plastyczna belki b
dzie rozwi
zaniem najwi
kszym spo-
ród wszystkich statycznie dopuszczalnych:
P
5
M
8
P
=
max(
5
M
,
1
M
,
1
M
,
5
M
)
=
5
M
.
8
2
4
8
8
b) kinematycznie dopuszczalne pola przemieszcze
Zastosujemy metod
schematów zniszczenia. Dla kolejnych schematów, z zasady prac wirtu-
alnych, porównujemy prac
sił zewn
trznych (obliczan
z odpowiednim znakiem) z prac
uogólnionych sił wewn
trznych na uogólnionych przemieszczeniach (ta praca jest zawsze
dodatnia):
Wykres momentów od obci
e
skupionych jest lini
łaman
. Najbardziej prawdopodobne
jest przyj
cie przegubów uplastycznienia w przekrojach na granicach przedziałów. Do zamia-
ny belki w mechanizm kinematyczny (o jednym stopniu swobody) potrzeba 2 przegubów
plastycznych. Potencjalnymi przekrojami, w których mog
utworzy
si
przeguby plastyczne
s
3 przekroje. Istniej
zatem 3 najbardziej prawdopodobne schematy zniszczenia (rys.)
Dla kolejnych schematów mamy:
P
2P
Q
Q
2
Q
P
+
2
P
Q
=
3
M
Q
¼
P
=
0
75
M
1
2
Q
P
2P
Q
2
Q
P
+
2
P
3
Q
=
5
M
Q
¼
P
=
0
625
M
3Q
4
Q
2
P
2P
Q
Q
2
P
Q
=
3
M
Q
¼
P
=
1
5
M
2
Q
3
Podej
cie kinematyczne daje oszacowanie od góry (belka zniszczy si
zarówno przy sile
P
1
,
P
2
jak i
P
3
), wybieramy wi
c warto
najmniejsz
,
=
. Identyczny wynik,
otrzymany poprzednio dla metody statycznej upewnia nas,
e uzyskane rozwi
zanie jest roz-
wi
zaniem dokładnym.
P
0
625
M
=
5
M
2
Poniewa
s
to oszacowania od dołu, wybieramy warto
górn
:
8
[ Pobierz całość w formacie PDF ]