TSiP 1c przyklad, technika strzelnicza
[ Pobierz całość w formacie PDF ]wiczenie1zTeoriiSpr¦»ysto±ciiplastyczno±ci
RównaniapodstawoweTS
LeszekChodor
Dla danego pola przemieszcze« (1) obliczy¢ w punkcie A macierz od-
kształce« i napr¦»e« oraz siły masowe. Ciało jest wykonane ze stali. W
punkcie A znale»¢ macierz napr¦»e« główn¡.
u
1
= 9
x
2
1
+
x
3
3
+ 10
x
4
1
, u
2
=
x
3
1
+ 8
x
2
1
−
9
x
3
2
, u
3
= 8
x
3
2
−
x
3
(1)
A
=
A
(
−
2
,
1
,
1) [
m
·
10
−
6
]
Jednorodno±¢ wymiarowa jest zapewniona przez mianowane współczynniki
składników wielomianu, Współczynniki te, tak dobranom, »e wynikiem s¡
przemieszczenia
u
.
owymiarze
[
m
·
10
−
6
].Rachunek na jednostkach wymiaro-
wych pomin¡¢.
1Macierz(tensor)odkształce«
Tensor odkształce«
"
ij
w polu przemieszcze« (
u
1
,u
2
,u
3
) definiuj¡ równa-
nia geometryczne (Cauchy’ego), które dla odkształce« niesko«czenie małych
przyjm¡ posta¢:
1
2
(
@u
i
/@x
j
+
@u
j
/@x
i
)
|
i,j
=1
,
2
,
3
,
"
ij
=
(2)
czyli po rozpisaniu:
"
11
=
@u
1
/@x
1
, "
22
=
@u
2
/@x
2
, "
33
=
@u
3
/@x
3
"
12
=
1
2
(
@u
1
/@x
2
+
@u
2
/@x
1
)
"
13
=
1
2
(
@u
1
/@x
3
+
@u
3
/@x
1
)
|
"
23
=
1
2
(
@u
2
/@x
3
+
@u
3
/@x
2
)
Uwaga
: Przyj¦ty układ wpółrz¦dnych (
x
1
,x
2
,x
3
) klasycznie jest oznaczany
jako (
x,y,z
),
a wektor przemieszczenia [
u
] = [
u
1
,u
2
,u
3
] jako [
u
x
,u
y
,u
z
] lub w zapisie
technicznym jako [
u,v,w
].
1
Odkształcenia [
"
11
,"
22
,"
33
,"
12
,"
13
,"
23
]
s¡ w zapisie technciznym oznaczane jako [
"
x
,"
y
,"
z
,
xy
,
xz
,
yz
],
gdzie
"
.
, to odkształcenia normalne, a
..
, to odkształcenia k¡towe.
Tensor odkształce« (2) ma»na zapisa¢ jako macierz:
2
3
"
11
"
12
"
13
"
21
"
22
"
23
"
31
"
32
"
33
4
5
[
"
] =
(3)
Dla danych zadania mamy:
"
11
=
@u
1
@x
1
= 18
x
1
+ 40
x
3
1
|
A
=
−
18
·
2 + 40
·
(
−
2)
3
=
−
356
"
22
=
−
27
x
2
2
=
−
27
"
33
=
−
1
"
12
= 1
,
5
x
2
1
+ 8
x
1
) =
−
10
"
13
= 1
,
5
x
2
3
=
−
1
,
5
"
13
= 12
x
2
2
= 12
2
4
3
5
−
356
−
10
1
,
5
[
"
] =
−
10
−
27
12
1
,
5
12
−
1
2Stałemateriałowe
Dla stali przyjmiemy stałe materiałowe (E,
)=(moduł Younga, współczyn-
nik Poissona)=(2,1
·
10
5
MPa, 0,3).
Stałe Lame’go wynosz¡:
2
,
1
·
10
5
2
·
(1 + 0
,
3)
E
2(1 +
)
= 0
,
808
·
10
5
MPa
G
=
=
2
,
1
·
10
5
·
0
,
3
(1 + 0
,
3)(1
−
2
·
0
,
3)
E
(1 +
)(1
−
2
)
= 1
,
212
·
10
5
MPa
=
=
3Macierznapr¦»e«
Podstawowym zało»eniem teorii spr¦»ysto±ci jest jednoznaczna zale»no±¢ po-
mi¦dzy tensorem napr¦»e«
ij
a tensoem odkształce«.
"
ij
. W najprostszym
przypadku ciała liniowo-sprz¦»ystego obowi¡zuje prawo Hooke’a w nast¦pu-
j¡cej postaci
ij
= 2
G"
ij
+
"
rr
·
ij
|
i,j
=1
,
2
,
3
,
(4)
2
czyli po rozpisaniu:
11
= 2
G"
11
+
(
"
11
+
"
22
+
"
33
)
22
= 2
G"
22
+
(
"
11
+
"
22
+
"
33
)
33
= 2
G"
33
+
(
"
11
+
"
22
+
"
33
)
12
= 2
G"
12
13
= 2
G"
13
23
= 2
G"
23
Uwaga
: Napr¦»enia [
11
,
22
,
33
,
12
,
13
,
23
] w zapisie technicznym s¡ ozna-
czane jako[
x
,
y
,
z
,
xy
,
xz
,
yz
],
.
,to napr¦»enie normalne, a
..
, to napr¦-
»enie styczne.
Tensor napr¦»e«(4) ma»na zapisa¢ jako macierz
2
4
3
5
11
12
13
21
22
23
31
32
33
[
] =
(5)
Dla danych zadania mamy:
11
= 2
G"
11
+
(
"
11
+
"
22
+
"
33
) =
−
712
G
−
384
=
|
G,
=
−
104
MPa
22
=
−
54
G
−
384
=
|
G,
=
−
50
,
8
MPa
33
=
−
G
−
384
=
|
G,/
=
−
46
,
5
MPa
12
=
−
20
G
=
|
G
=
−
1
,
6
MPa
13
= 3
G
=
|
G
= 0
,
24
MPa
23
= 24
G
=
|
G
= 1
,
9
MPa
2
4
3
5
MPa
−
104
−
1
,
6
0
,
24
[
] =
−
1
,
6
−
50
,
87
1
,
9
0
,
24
1
,
9
−
46
,
5
4Siłymasoweirównaniarównowagi
Równania równowagi elementu ciała zwany równanianiami Naviera sa na-
st¦puj¡ce
@
ij
@x
j
+
X
i
= 0
,
(6)
czyli po rozpisaniu:
@
11
@x
1
+
@
12
@x
2
+
@
13
@x
3
+
X
1
= 0
@
21
@x
1
+
@
22
@x
2
+
@
23
@x
3
+
X
2
= 0
@
31
@x
1
+
@
32
@x
2
+
@
33
@x
3
+
X
3
= 0
3
Zale»no±ci funkcyjne dla napr¦»e« znajdziemy po podstawieniu do prawa
fizycznego(4)wyra»e« na odkształcenia znalezione w pkt.1. Otrzymali±my:
11
= 2
G
(18
x
1
+ 40
x
3
1
) +
(18
x
1
+ 40
x
3
1
−
27
x
2
2
−
1)
22
= 2
G
(
−
27
x
2
2
) +
(18
x
1
+ 40
x
3
1
−
27
x
2
2
−
1)
33
= 2
G
(
−
1) +
(18
x
1
+ 40
x
3
1
−
27
x
2
2
−
1)
12
=
21
= 2
G
(1
,
5
x
2
1
+ 8
x
1
)
13
=
31
= 2
G
·
1
,
5
x
2
3
23
=
32
= 2
G
·
12
x
2
2
Wykonuj¡c ró»niczkowanie powy»szych zale»no±ci w sposób przypisany w
równaniach Naviera(6), otrzymamy:
@
11
@x
1
+
@
12
@x
2
+
@
13
@x
3
(= 36
G
+ 240
Gx
2
1
+ 18
+ 120
x
2
1
+ 6
Gx
3
) +
X
1
= 0
@
21
@x
1
+
@
22
@x
2
+
@
23
@x
3
(= 6
Gx
1
+ 16
G
−
108
Gx
2
−
54
x
2
) +
X
2
= 0
@
31
@x
1
+
@
32
@x
2
+
@
33
@x
3
(= 486
Gx
2
) +
X
3
= 0
St¡d wyznaczamy
X
1
= -1411,5 MN
X
2
= 149,4 MN
X
3
=-38,8 MN
5Napr¦»eniaikierunkigłówne
Napr¦»enia i kierunki główne s¡ warto±ciami i wektorami własnymi macierzy
napr¦»e«. W niniejszym przykładzie wyznaczymy je metod¡ klasyczn¡ bez
u»ycia specjalnych procedur numerycznych.
5.1Napr¦»eniagłówne
Napr¦»enia główne
(
i
)
(i=1,2,3) s¡ pierwiastkami równania charaktery-
stycznego
3
(
i
)
−
I
1
2
(
i
)
+
I
2
(
i
)
−
I
3
= 0
,
(7)
gdzie niezmienniki równania
I
1
,I
2
,I
3
wynosz¡:
I
1
=
rr
=
11
+
22
+
33
+
+
11
12
21
22
11
13
31
33
22
23
32
33
I
2
=
11
12
13
21
22
23
31
32
33
I
3
=
4
Dla danych z zadania mamy:
I
1
=
−
104
−
50
,
8
−
46
,
5 =
−
201
,
3
MPa
+
+
= 12475
MPa
2
−
104
−
1
,
6
−
1
,
6
−
50
,
8
−
104 0
,
24
0
,
24
−
46
,
5
−
50
,
8
−
1
,
9
−
1
,
9
−
46
,
5
I
2
=
−
104
−
1
,
6
0
,
24
=
−
245173
,
9
MPa
3
I
3
=
−
1
,
6
−
50
,
8
1
,
9
0
,
24
1
,
9
−
46
,
5
Równanie charakterystyczne przyjmie posta¢:
3
(
i
)
+ 201
2
(
i
)
+ 12475
(
i
)
+ 245174 = 0
Rozwi¡zanie tego równania trzeciego rz¦du, daje:
(1)
=-44,39MPa
(2)
=-102,97MPa
(
3)=-53,64MPa
5.2Kierunkigłówne
Kierunki główne
n
(
i
)
(
(
i
)1
,
(
i
)2
,
(
i
)3
), gdzie
(
i
)
.
jest kosinusem kierunko-
wym (i)-tego wektora głównego - wyznaczymy z układu równa« algebraicz-
nych, stanowi¡cych składow¡ rozwi¡zania problemu własnego, które zapi-
szemy w nast¦puj¡cej postaci:
9
=
(
11
−
(
i
)
)
·
(
i
)1
+
12
·
(
i
)2
+
13
·
(
i
)3
= 0
21
·
(
i
)1
+ (
22
−
(
i
)
)
·
(
i
)2
+
23
·
(
i
)3
= 0
31
·
(
i
)1
+
32
·
(
i
)2
+ (
33
−
(
i
)
)
·
(
i
)3
= 0
(8)
;
Układ powy»szy jest jednorodny ze wzgl¦du na szukane
(
i
)
j
(
j
= 1
,
2
,
3).
Warunek poboczny stanowi wi¦c warunek normalizacji wersora
n
(
i
)
:
2
(
i
)1
+
2
(
i
)2
+
2
(
i
)3
= 1
(9)
Dla danych zadania znajdziemy wersory normalne do płaszczyzny głównej,
odpowiadajace kolejnym napr¦»eniom głównym. W układzie równa« (8) od-
rzucimy ostatnie równanie(mogliby±my odrzuci¢ dowolne jedno).
Dla wersora stowarzyszonego z (1)-szym napr¦»eniem
(1)
=-44,39MPa
układ równa« (8)mo»na zapisa¢ w postaci
)
(
−
104 + 44
,
39)
·
(1)1
−
1
,
6
·
(1)2
+ 0
,
24
·
(1)3
= 0
−
1
,
6
·
(1)1
+ (
−
50
,
8 + 44
,
39)
·
(1)2
+ 1
,
9
·
(1)3
= 0
Po przyj¦ciu parametru
t
=
(1)3
ten układ równa« przyjmie posta¢:
)
(
−
59
,
61)
·
(1)1
−
1
,
6
·
(1)2
=
−
0
,
24
t
−
1
,
6
·
(1)1
+ (
−
6
,
41)
·
(1)2
=
−
1
,
9
t
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]