Talent1, Studium Talent
[ Pobierz całość w formacie PDF ]StudiumTalent.Listanr1.
Zadanie1Stosuj¡czasadƒindukcjimatematycznejudowodnij:
a)1+q+q
2
+...+q
n−1
=
1−q
n
1−q
,q6=1;b)
1
1·2
+
1
2·3
+
1
3·4
+...+
1
n(n+1)
=
n
n+1
;
c)(1+x)
n
1+nxdlax−1; d)2
n−1
<n!;
e)sinx+sin2x+...+sinnx=
sin
n+1
sin
x
2
sin
nx
2
dlax6=2k;
f)Zbi
ó
rn-elementowymadok“adnie2
n
podzbior
ó
w;
g)(a+b)
n
=
2
x
!
!
!
n
0
n
1
n
n
a
n
b
0
+
a
n−1
b
1
+...+
a
0
b
n
,dlaa,b2R.
Zadanie2Pokaza¢,»eje–liliczbadodatniajestiloczynemr
ó
»nychliczbpier-
wszych,tojejpierwiastekkwadratowyjestliczb¡niewymiern¡.
Zadanie3Korzystaj¡czfaktu,»edladanejliczbyrzeczywistejistniejeza-
wszewiƒkszaodniejliczbanaturalnaudowodni¢,»ewka»dymprzedzialeo
lewymko«cuwzerzeistniejezawszeliczbapostaci1/n,gdzienjestliczb¡
naturaln¡.
Wykaza¢,»epomiƒdzydwiemadowolnymiliczbamiwymiernymiistniejeza-
wszeliczbaniewymierna.
Zadanie4Zbada¢,czypodanezbiorys¡ograniczonezdo“u:
a)A={2n:n2N};b)B={2
p
:p2N};c)C={p−q:p,q2Q}.
Zadanie5Zbada¢,czypodanezbiorys¡ograniczonezg
ó
ry:
a)A=
n
n
p
5:n2N
o
;b)B={x2R:sinx0};c)C=
n
n+
1
n
:n2N
o
.
Zadanie6Zbada¢,czypodanezbiorys¡ograniczone:
a)A=
q
:p,q2N,p<q
o
;b)B={x2R:tgx=7};c)C={x2R:x
2
+3x−8<0}.
Zadanie7Zbada¢,czypodanezbiorymaj¡elementynajwiƒksze:
a)A=
n
4n
n
2
+1
:n2N
o
;b)B=
n
2n
n+1
:n2N
o
;c)C={
n
p
n:n2N}.
Zadanie8Znale„¢,oileistniej¡,kresydanychzbior
ó
w:
a)A={2
−n
:n2N};b)B=
n
1+
(−1)
n
n+1
:n2N
o
;c)C=
n
P
n
k=1
1
2
k
:n2N
o
.
Zadanie9Dlazbior
ó
wA,BRokre–lamyA+B={a+b:a2A,b2B}.
Wykaza¢,»eje–liA,Bs¡ograniczonezg
ó
ry,tosup(A+B)=supA+supB.
n
p
[ Pobierz całość w formacie PDF ]