TWIERDZENIE LAGRANGEA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ, POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Mechaniczny-Technologiczny - MiBM ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]TWIERDZENIE LAGRANGEA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ:
1)Twierdzenie: Jeśli dana funkcja
jest: ciągła w przedziale [a,b],
różniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje taki punkt
taki, że:
2)Interpretacja geometryczna: Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza,
że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu
istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej
między punktami
i
Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej
do wykresu funkcji w punkcie
wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a
jest on równy:
WARTOŚĆ ŚREDNIA:
Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci
mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i
pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
DOWÓD:
,
mamy wtedy:
oraz
wiec:
czyli funkcja
spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt
taki, ze:
z drugiej strony mamy
stad:
. Dlatego też
[ Pobierz całość w formacie PDF ]