TSiP Wyklad 04-notatki, Nauka, pomoce, Teoria Sprężystości i Plastyczności, WYKŁADY
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Równania konstytutywne
(równania materialne, związki fizyczne, związki fizykalne)
– definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie teoretycznych analiz, weryfikowane
doświadczalnie.
Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości definuje materiał – opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.
Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia – tzw.
materiały z pamięcią
.
Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości ε nie może znaleźć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości
σ.
Klasa materiałów
bez pamięci
– materiałów sprężystych.
OŚRODEK (MATERIAŁ) SPRĘZYSTY
Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii
odkształcenia (bez pamięci)
( )
( )
σ =
fe
,
eg
σ
=
ij
ij
ij
ij
f
i
g
- funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół nieliniowe
Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty:
σ
=
C
ε
ij
ijkl
kl
σσ
≡
– tensor naprężeń Cauchy
ij
εε
≡
– tensor małych odkształceń
kl
Zapis absolutny:
σε
(działanie: zwężenia pełne, brak analogii w rachunku macierzowym)
=
≡
– tensor stałych sprężystych, tensor IV walencji, 81 składowych
Z symetrii tensorów
,
(
CC
ijkl
σσ
=
,
ε= ) wynikają tożsamości
ij
ji
kl
lk
CC
= ,
pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych
C
ijkl
jikl
jilk
Związek konstytutywny
ij
σ
=
C
ε
, obejmujący 36 stałych sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke’a dla
ijkl
kl
ciał anizotropowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • WILiŚ PG •
Teoria sprężystości i plastyczności
• Wykład 04 – str. 1
Przykład
– efekt anizotropii (poza kursem WM)
Odkształcenie postaciowe – w tensorze odkształceń
niezerowa jedynie składowa
1
ε
Obecność w tensorze
C
niezerowej składowej
1112
C
powoduje, że
11
σ
=
C
ε
0
1112
12
Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym kierunku własności materiału identyczne)
Notacja alternatywna:
σσ σσσ
σσ σσσ
σσ σσσ
≡
≡=
εε εεε
εε εεε
εε εεε
≡
≡=
1
11
4
23
32
1
11
4
23
32
≡
≡=
≡
≡=
2
22
5
31
13
2
22
5
31
13
≡
≡=
≡
≡=
3
33
6
12
21
3
33
6
12
21
W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie macierzowej
0,
σ
=≠
C
ε
=
KL
,
1,...,6
K
KL
L
Macierz
CC
=
zawiera 36 stałych sprężystych.
KL
Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym Φ (inaczej
energią właściwą odkształcenia sprężystego
), w
najprostszej postaci wyrażona formą kwadratową
1
2
Φ=
C
εε
KL
K
L
Z istnienia tej funkcji wynika
CC
=
,
KL
LK
tylko 21 niezależnych stałych.
Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:
Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym punkcie – ośrodek ortotropowy, macierz stałych
sprężystych w postaci
CCC
CCC
CCC
000
000
000
000 00
0000 0
00000
11
12
13
21
22
23
31
32
33
C
C
44
C
55
C
66
12 niezależnych stałych, warunek
KL
C
= – 9 stałych
Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np.
x
) – izotropia poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.
Pełna izotropia
– izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:
LK
C
=
λδδ
+
b
δδ
+
c
δδ
ijkl
ij
kl
ik
jl
il
jk
– trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke’a dla ciał izotropowych:
(
)
σ
=
C
ε
λδδ
=
b
δδ
+ +
c
δδ ε λδε
=
bc
ε
ε
++=
ij
ijkl
kl
ij
kl
ik
jl
il
jk
kl
ij
kk
ij
ji
(
)
=
λδε
bc
++ =
ε λδε
2
µε
+
ij
kk
ij
ij
kk
ij
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • WILiŚ PG •
Teoria sprężystości i plastyczności
• Wykład 04 – str. 2
lub
Liniowo-sprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy – dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame λ i µ –
postać
σ λ ε µε
=
I
tr
2
+
( )
=
Zależności odwrotne
( )
σε
=
Relacja pomocnicza: tr
ε
g
σ
tσε
↔
:
(
)
σ
=+
3
λε
2
µε
=+
32
λ µε
ii
kk
ii
kk
1
32
Stąd
ε
=
σ
λµ
kk
ii
+
1
λ
1
Zatem
ε
=
σ
−
+
δσ
ij
ij
ij
kk
2
µ
23 2
µλ µ
Zależności między stałymi Lame
λ
i
µ
a stałymi technicznymi
E
i
ν
.
Zapis wskaźnikowy związków konstytutywnych:
(
1
)
ε
=
σ νσ σ
−
+
11
11
22
33
E
...
ν
εε σ
1
+
=
12
21
12
E
...
Zapis łączony:
1
+
ν
ν
ε
=
σ
δσ
−
ij
ij
ij
kk
E
E
Zależności
11
2
+
ν
E
=
µ
⇒=
G
(
)
µ
E
21
+
ν
λ
1
ν
E
ν
= ⇒=
+
λ
(
)(
)
2 3
µλ µ
2
E
1
+−
ν
12
ν
Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy
σσ
≡
– 6 składowych
ij
symetryczny tensor małych odkształceń
εε
≡
– 6 składowych
ij
wektor przemieszczeń
≡
– 3 składowe
razem 15 składowych
uu
k
Zależności:
równania równowagi
div
– 3 równania
σ+=
b
0
1
2
(
)
związki geometryczne
– 6 równań
T
ε= ∇ +∇
uu
prawa konstytutywne
– 6 równań
razem 15 równań
σ λ ε µε
=
I
tr
2
+
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • WILiŚ PG •
Teoria sprężystości i plastyczności
• Wykład 04 – str. 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]