TSiP Wykl 09b-notatki, tsip wykłady2 I semestr mgr

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ćwiczenie 9
Pasmo tarczowe
Rozważymy
tarczę nieskończoną
, o szerokości
2
b
i grubości
g
→ model tarczy ciągłej
Zakładamy, że obciążenia na obu brzegach są
okresowe
i
symetryczne
względem osi
x
.
Nie jest to ograniczenie metody – istnieje bowiem rozkład:
()
fx
+−
f x
( )
fx
()
−−
f x
( )
fx
()
=
+
,
2
2
gdzie:
()
fx
→ dowolna funkcja
()
fx
+−
f x
( )
→ składnik symetryczny (funkcja parzysta)
2
fx
()
−−
f x
( )
→ składnik antysymetryczny (funkcja nieparzysta)
2
x
p

()
b
x
b
px
()
l
l
Dla obciążenia, które opisane
jest funkcją parzystą
, możemy zapisać szeregi cosinusowe:
1

1

n
l
π
( )

,
( )




p
x
=
a
a
+
cos
α
x
p
x
=
a
a
+
cos
α
x
;
α =
1
0
n
n
1
1
0
n
n
1
n
2
2
n
=
1
n
=
1
Ze względu na
globalny warunek równowagi
(rzuty na oś pionową) otrzymamy:
l
l
1
1
=


a


p x
()
dx
=
=
p x
()
dx
a
0
1
1
1
1
0
l
l

l

l
Do wyznaczenia funkcji naprężeń zastosujemy
zasadę superpozycji
4
:
∇= zatem:
(
)
(operator
( )
4
4
4
4


jest liniowy!)
∇=
0
oraz
0
∇ + =∇=
FF
F
0
1
2
1
2
1
2
Pierwszą składową funkcji naprężeń
F
(przy obc. brzegowych
a
⋅ ) wyznaczymy, zakładając:
0
2
F C
= ⋅, gdzie:
C
=
const
1
1
2

F
σ
=
1
2
C
22
2
1

x
1
2
Warunek brzegowy:
(
)
σ
x
=±= ⋅
b
a
22
2
0
a
a
stąd:
oraz:
2
C
=
F
=
x
0
0
4
4
1
1
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
 F
Przy wyznaczaniu funkcji
, ze względu na przyjętą metodę szeregów Fouriera,
zakładamy rozdzielenie
zmiennych
:
(

)

( )
F xx
,
=
f x
cos
α
x
2 12
n
2
n
1
n
=
1
Podstawiając do równania biharmonicznego
4
∇= , otrzymamy:
0
2
(
)
4


F xx
,

=
0


2 12




( )
( )
( )
′′
′′′′
4
2
fx

α
−⋅
2
f x

α
+
f
x

cos
α
x
=
0


n
2
n
n
2
n
n
2
n
1
n
=
1
Rozwinięcie w szereg funkcji zerowej daje wszystkie współczynniki
równe zero
!
Zatem, porównując współczynniki szeregów po obu stronach:
( )
( )
( )
4
′′
2
′′′′
⋅ −⋅ ⋅ + =
Jest to więc zwyczajne
równanie różniczkowe o stałych współczynnikach
!
fx
α
2
f x
α
f
x
0
n
2
n
n
2
n
n
2
Przewidujemy:
( )
e

rx
n
fx
=
2
2
( )
′′
( )
′′′′
Zatem:
rx

4
rx

2
rx

=
e

α
−⋅
2
e

α
+
e
0
2
2
2
n
n
e
rx


α
4
−⋅ ⋅
2
re
2
rx


α
2
+⋅
re
4
rx

=
0
2
2
2
n
n
4
2
2
4
α
−⋅ ⋅ + =
2
r
α
r
0
n
n
(
)
2
)
2
α −= →
(
)(
2
2
r
0

α
− +=
r
r

0


n
n
n
(
) (
2
)
2
α
−⋅
r
α
+=
r
0
n
n
Stąd:
1,2
r
= + oraz
α
r
= − →
pierwiastki podwójne
α
n
3,4
n
Z
warunku liniowej niezależności
otrzymujemy:
( )
α

x
α

x
−⋅
α
x
−⋅
α
x
n
f x
=⋅
Ce
+ ⋅ ⋅
Cxe
+⋅
Ce
+ ⋅ ⋅
Cxe
n
2
n
2
n
2
n
2
2
1
22
3
42
Podstawić można następujące zależności:
(
1
2
1
2
)
(
)
α

x
−⋅
α
x
α

x
−⋅
α
x
ch x
α

e
+
e
oraz
sh x
α

e

e
Łącząc poprzednie wzory, otrzymamy:
[
1
]
( )
n
fx
=
A
ch x

αα
+⋅ ⋅
x
B
sh x
α
C
+⋅
sh x
αα
+⋅
x
D
ch x

α
2
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
2
n
2
n
n
2
2
α
n

mnożnik wygodny do późniejszego różniczkowania
Otrzymujemy więc ostatecznie:
(
)
Fxx
,
F
= +
12
1
2
a

(
)
,
(
)

( )
2
Fxx
,
=
0
x
F xx
,
=
f x
cos
α
x
1 12
1
2 12
n
2
n
1
4
n
=
1

1
a

[
]
zatem:
(
)
2
Fxx
,
=
0
x

+
A

ch x
αα
+⋅ ⋅
x
B
sh x
α
+⋅
C
sh x
αα
+⋅
x
D

ch x
α α

cos
x
12
1
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
2
n
2
n
n
2
n
1
α
2
4
n
=
1
n
Stałe
, , ,
ABC D
wyznacza się z
odpowiednich warunków brzegowych
dla
2
σ
i
1
σ
, gdzie:
nnn n
2

F
x
a


[
]
σ
=
0
− ⋅
A
ch x
αα
+⋅ ⋅
x
B
sh x
α
+⋅
C
sh x
αα
+⋅
x
D

ch x
α α

cos
x
22
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
2
n
2
n
n
2
n
1
2
1

2
n
=
1
oraz:
2

= −
∂∂
F
xx


(
)
(
)
=

A
B
+⋅
sh x
αα
+⋅ ⋅
x
B
ch x
α
C
++⋅
D
ch x
αα
+⋅
x
D
sh x

α α

sin

x
σ


12
n
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
n
2
n
2
n
n
2
n
1
n
=
1
12
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
 Warunki brzegowe:
( )
( )

1)
2)
σ
σ
=
+
px


= −

3)
4)
σ
σ
=
+
px
22
1
22
1
dla:
x
=
b
oraz
dla:
x
b

2
2
=
0
=
0


12
12
gdzie:
1

1

n
l
π
( )

,
( )




p
x
=
a
a
+
cos
α
x
p
x
=
a
a
+
cos
α
x
;
α =
1
0
n
n
1
1
0
n
n
1
n
2
2
n
=
1
n
=
1
Rozwiązując
układ czterech równań algebraicznych liniowych
,
o czterech niewiadomych
, otrzymujemy:
(
sh b
αα α
αα
+⋅
b ch b
)
A
=−+⋅
aa

n
n
n
n
n
n
sh 2
b
+
2
b
n
n
α
αα
sh b
(
)

B aa
sh 2
=+⋅
n
n
n
n
b
+
2
b
n
n
ch b
αα α
αα
+⋅
b sh b
(
)
C
=−−⋅
aa

n
n
n
n
n
n
sh 2
b

2
b
n
n
α
αα
ch b
(
)

D aa
sh 2
=−⋅
n
n
n
n
b

2
b
n
n
Zatem funkcja
(
)
Fxx
jest
całkowicie określona
!
Jej zróżniczkowanie prowadzi do uzyskania naprężeń
11
,
12
σσσ
,
,
w
dowolnym punkcie danego pasma
22
12
tarczowego
!
Najbardziej istotne, podobnie jak w belkach, są naprężenia
1
σ :
2

=

F
x

[
]
σ
=
A

ch x
α
+
2
B

ch x
αα
+
x
⋅ ⋅
B
sh x
α
+ ⋅
C
sh x
α
+
2
D

sh x
αα
+
x
⋅ ⋅
D
ch x
α α

cos
x
11
n
n
2
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
2
n
n
2
n
2
n
n
2
n
1
2
2
n
=
1
Zatem:


(
)
(
)
σ
=

A
2
B
+⋅
ch x
αα
+⋅ ⋅
x
B
sh x
α
C
++⋅
2
D
sh x
αα
+⋅
x
D
ch x

α α

cos

x


11
n
n
n
2
n
2
n
n
2
n
n
n
2
n
2
n
n
2
n
1
n
=
1
Szeregi te są na ogół wolnozbieżne (szczególnie dla
x
= ± ).
Drogą przekształceń można z nich otrzymać
szeregi o lepszej zbieżności
:
b



(
)


(
)

(
)
σ
2
xb
=
=

a

cos
α

x
+
aac

⋅ ⋅
cos
α
+
x

aad

⋅ ⋅
cos
α
x
11
n
n
1
n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
oraz:
(



)


(
)

(
)


σ
x
= −
b
=
a

cos
α
x

a
+
a
⋅ ⋅
c
cos
α
x

a

a
⋅ ⋅
d
cos
α
x
11
n
n
1
n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
α
αα
2
b
gdzie:
c
=
n
← nowe stałe!
n
sh 2
b
+
2
b
n
n
α
αα
2
b
oraz:
d
=
n
← nowe stałe!
n
sh 2
b

2
b
n
n
Poza tym, z założenia:

1

1
n
l
π



( )
( )
a
cos
α
x
=
px

a

,
a
cos
α
x
=
px
a
;
α =
n
n
1
1
0
n
n
1
1
0
n
2
2
n
=
1
n
=
1
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • cs-sysunia.htw.pl