...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->GONOMETRYCZNEAFUNKCJE TRYGONOMETRYCZNEKĄTA OSTREGOW tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycz-nych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.1.Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokąt-nym nazywamy stosunek długości przypro-stokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do dłu-gości przeciwprostokątnej. Oblicz sinαi sinβ.2.Przypomnij określenia pozostałych dwóchfunkcji trygonometrycznych — cosinusa i tan-gensa — i oblicz wartości tych funkcji dlakątówαiβ.Przy oznaczeniach takich jak na rysunku obok funk-cje trygonometryczne kąta ostregoαsą określonenastępująco:sinα=accosα=bctgα=abWartości sinα,cosα,tgαzależą wyłącznie od miary kątaα,a nie zależą odwielkości trójkąta. Jeśli znamy miarę kąta, to wartości funkcji trygonome-trycznych tego kąta możemy obliczyć za pomocą kalkulatora lub odczytaćz tablic trygonometrycznych (zob. tabela na końcu książki). I na odwrót— jeśli znamy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej danego kąta,możemy znaleźć jego miarę.Bniu do części setnych) wartości: sin 3◦, tg 27◦, cos 65◦.Wyniki podaj w zaokrągleniu.1.Korzystając z kalkulatora lub z tabeli na końcu książki, podaj (w zaokrągle-2.Ustal miary kątów ostrychα, βiγ,jeśli sinα= 0,6, cosβ=1,3tgγ= 10.Warto pamiętać, że dla większości kątówwartości funkcji trygonometrycznych, któ-re można odczytać z tablic trygonometrycz-nych, podane są w przybliżeniu. Dla niektó-rych kątów, np. 30◦, 45◦i 60◦, można podaćdokładne wartości funkcji trygonometrycz-nych. Zebrano je w tabelce obok.αsinαcosαtgα30◦12√32√3345◦√22√2260◦√32121√3Uwaga. Wartości funkcji trygonometrycznych podane w tabelce można obliczyć,korzystając z tego, że trójkąt o kątach 30◦, 60◦i 90◦to połowa trójkąta równo-bocznego, a trójkąt o kątach 45◦, 45◦i 90◦to połowa kwadratu.194TRYGONOMETRIAGdy znamy miarę jednego z kątów ostrych oraz długość jednego boku trój-kąta prostokątnego, możemy obliczyć długości pozostałych jego boków.PKrótsza z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 4, a jeden z ką-tów ma miarę 75◦. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta.180◦− 90◦− 75◦= 15◦Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciw naj-mniejszego kąta.x= tg 75◦4x= 4·tg 75◦x≈4·3,7321≈14,934= sin 15◦ytg 75◦odczytujemy z tabeli lub obliczamy zapomocą kalkulatora.Można też zapisać równanie4y= cos 75◦.y=4sin 15◦4y≈0,2588≈15,46sin 15◦odczytujemy z tabeli lub obliczamyza pomocą kalkulatora.Odp. Pozostałe boki trójkąta mają długości około 14,93 i około 15,46.Funkcje trygonometryczne pozwalają także ustalić miary kątów ostrychw trójkącie prostokątnym o danych bokach.PW trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4, a przeciw-√prostokątna — długość 2 5. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.4cosα=√≈0,892 5Obliczamy wartość odpowiedniej funkcji try-gonometrycznej.Miarę kątaαodczytujemy z tabeli lub obli-czamy za pomocą kalkulatora.α≈27◦β= 90◦−α≈63◦Odp. Kąty ostre trójkąta mają miary około 27◦i około 63◦.FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO195CIEK AWOSTK AOprócz sinusa, cosinusa i tangensa są jeszcze trzy, rzadziej używane, funk-cje trygonometryczne kąta: secans (w skrócie sec), cosecans (w skróciecosec) i cotangens (w skrócie ctg). Określa się je następująco:111Wynika stąd, że secα=cosα, cosecα =sinα, ctgα=tgα. Zauważ, żeoprócz tych sześciu funkcji trygonometrycznych nie ma już innych, któremożna by określić jako ilorazy długości boków trójkąta prostokątnego,gdyż z trzech liczba, b, cmożna utworzyć tylko sześć ilorazów.Funkcję secans wprowadził i wykorzystał Mikołaj Kopernik w swoim słyn-nym dziele „De revolutionibus orbium coelestium”.ZADANIA1.Oblicz wartości podanych funkcji trygonometrycznych kątówαiβ.2.Skonstruuj kątα,wiedząc, że:a)sinα=23b)cosα= 0,4c)tgα= 33.Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.4.Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.196TRYGONOMETRIA5.W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miaręα,a krótsza przy-prostokątna ma długośća.Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, jeśli:√a)α= 30◦,a= 15b)α= 60◦,a= 5 2c)α= 58◦,a= 106.Oblicz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym:a)jedna z przyprostokątnych ma długość 8, a przeciwprostokątna — długość 10,b)przyprostokątne mają długości 9 i 10.szej, wiedząc, że 0◦<α< 1◦.7.a)Uporządkuj liczby sinα,cosαi tgαw kolejności od najmniejszej do najwięk-b)Uporządkuj kątyα, βiγw kolejności od kątao najmniejszej mierze do kąta o mierze największej,wiedząc, że sinα= cosβ= tgγ=1.108.Okrąg na rysunku obok ma promień długości 1,a prostekilsą styczne do tego okręgu. Zapisz zapomocą funkcji trygonometrycznych kątaαdługo-ści zaznaczonych odcinków.9.a)Jakie pole ma trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długośća,natomiast kąt przy podstawie ma miaręα?b)Jaki jest obwód rombu o kącie ostrymβi krótszej przekątnej długościd?c)Jaką długość ma cięciwa okręgu o promieniur, na której oparty jest kąt wpisanyo mierzeγ?d)Jaki jest obwód trapezu prostokątnego o kącie ostrymαi podstawach długościaib(b >a)?10.a)Fotografia obok przedstawia tzw.diabelski młyn w pewnym lunaparku.Średnica jego koła wynosi 35 m. Zawie-szono na nim 36 wagoników. W najniż-szym położeniu wagonik wisi ok. 0,5 mnad ziemią. Jak wysoko nad ziemiąznajduje się wagonik oznaczony na fo-tografii literąA,a jak wysoko – wagonikoznaczony literąB?b)Największe na świecie koło widoko-we London Eye (zob. fotografia na okład-ce) ma średnicę 135 m. Zawieszono nanim 32 gondole. Oblicz różnicę mię-dzy wysokościami, na których znajdująsię sąsiadujące ze sobą gondole, w mo-mencie gdy jedna z nich znajduje sięw najwyższym punkcie.FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO197 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • cs-sysunia.htw.pl