trojkaty ze snow, Matematyka, studia, 3rok, Równania różniczkowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Trójkąty, o jakich nie śniłeś
Seminarium jest poświęcone trójkątom i różnym figurom geometrycznym, ale niekoniecznie takim,
do jakich przywykliśmy na lekcjach matematyki.
1. Wprowadzenie
1.1. Euklides z Aleksandrii

Żył w okresie ok. 365-300 r.pne.

Matematyk grecki, pochodził z Aten

Autor „Elementów” - najważniejszego dzieła matematyki w
tamtych czasach; zawierającego całą ówczesną wiedzę
matematyczną; druga po Biblii najwięcej razy wydana
księga na świecie

Zdefiniował punkt jako coś „co nie ma części”.
1.2. Aksjomaty Euklidesa
Geometria, z jaką spotykamy się na co dzień, opiera się na kilku postulatach Euklidesa, które
Euklides zawarł w „Elementach”:

Od dowolnego punktu do dowolnego innego można poprowadzić prostą.

Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużać.

Z dowolnego środka dowolnym promieniem można opisać okrąg.

Wszystkie kąty proste są równe.

Jeśli dwie proste na płaszczyźnie tworzą z trzecią kąty jednostronne wewnętrzne o sumie
mniejszej od dwóch kątów prostych, to te proste po przedłużeniu, przetną się i to z tej
właśnie strony.
Ostatni postulat doczekał się alternatywnego brzmienia:
Jeśli mamy daną prostą L, i punkt P na niej nie leżący, to przez ten punkt P można poprowadzić
dokładnie jedną prostą równoległą do L.
Jednak ze względu na swoje skomplikowane brzmienie, wzbudzał on wątpliwości naukowców. Nie
udało się udowodnić jego zależności od innych aksjomatów. Za to, zaprzeczając mu (zamieniając
słowa „dokładnie jedną” na „co najmniej dwie”) M.Łobaczewski utworzył nową geometrię –
będącą
geometrią nieeuklidesową
.
W geometriach nieeuklidesowych obowiązują pierwsze cztery aksjomaty euklidesowe. Od
geometrii Euklidesa różnią się piątym.
2. Linie geodezyjne
Def.
Linią geodezyjną nazwiemy najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni.
Ciekawostka.
Światło porusza się zawsze po linii geodezyjnej. Dlatego też w pobliżu dużych
obiektów w kosmosie, światło leci po hiperboli, a nie po linii prostej. Masa zakrzywia przestrzeń,
przestają obowiązywać prawa geometrii Euklidesa – a więc prosta przestaje być geodezyjną.
Czasami zjawisko to działa na korzyść astronomów, i skupia światło niczym soczewka teleskopu.
Nazywamy to soczewkowaniem grawitacyjnym.
Pytanie.
Jak wyglądają linie geodezyjne na różnych powierzchniach? (płaszczyzna, sfera,
powierzchnia sześcianu, stożka, walca, ...)
3. Podstawowe pojęcia geometrii sferycznej
3.1. Odcinek na sferze
Jeśli mamy dane na płaszczyźnie
punkty A i B, to długością odcinka
AB będzie długość najkrótszej
drogi pomiędzy punktami A i B –
długość linii geodezyjnej
poprowadzonej między tymi
punktami. Analogicznie, długością
jakiegoś odcinka AB na sferze
będzie długość linii geodezyjnej
poprowadzonej pomiędzy tymi
punktami.
Będzie nią łuk okręgu wielkiego
sfery (czyli największego okręgu
powstałego przez przecięcie sfery
płaszczyzną).
Notacja.
W dalszych
rozważaniach „R” będzie zawsze
oznaczało promień naszej sfery, a
„O” – jej środek.
Zauważmy, że długość łuku AB jest równa iloczynowi promienia sfery, oraz kąta, przez jaki ten łuk
jest wyznaczany:


AB
∣=
R
⋅∣∢
AOB
∣=
R

(kąt α winien być wyrażony w radianach).
Def.
Jeśli potraktujemy okrąg wielki AB jako „równik”, to biegunami będziemy dalej nazywać
punkty powstałe w wyniku przecięcia sfery prostą przechodzącą przez punkt O i prostopadłą do
płaszczyzny AOB.
3.2. Dwukąt
Weźmy sobie jakieś dwa różne wielkie okręgi sfery. Przetną się one w dwóch punktach
symetrycznych względem środka
sfery.
W ten sposób sfera zostanie
podzielona na cztery obszary –
parami przystające – które nazwiemy
dwukątami.
Zauważmy, że ani „AB”, ani „ADB”
nie są w stanie jednoznacznie
określić zielonego dwukąta. Dopiero
kiedy powiemy „ADBCA”, staje się
jasne, o który dwukąt chodzi.
Pytanie. Co można powiedzieć o
prawdziwości piątego aksjomatu
Euklidesa w geometrii sferycznej?
3.3. Kąt na sferze
Łatwo potrafimy zdefiniować kąt
pomiędzy dwiema prostymi. Jak
natomiast określać kąty pomiędzy
„odcinkami” na sferze?
Kąt pomiędzy dwiema krzywymi przecinającymi się w pewnym punkcie P, określa się jako kąt
pomiędzy stycznymi do tych prostych w punkcie P.W ten sposób możemy próbować wyznaczyć kąt
w geometrii sferycznej.
Krok I.
Próbujemy ustalić miarę czerwonego
kąta – a więc zgodnie z tym, co
powiedzieliśmy wcześniej, chcemy ustalić
miarę kąta pomiędzy doń stycznymi.
 Krok II.
Znajdźmy taki okrąg wielki AB, żeby punkt H był biegunem tego okręgu.
Krok III.
Stycznymi do okręgów wielkich HA i HB w punkcie H są niebieskie proste HP i HQ.
Kąty PHO i QHO są proste. Wynika z tego, że AO||PH i BO||QH. A więc miara kąta PHQ jest
równa mierze kąta AOB, i taka też jest miara kąta pomiędzy zaznaczonymi łukami.
3.4. Pole dwukąta
Nasz różowiutki dwukąt możemy
potraktować jako pewien wycinek sfery.
Jego pole więc będzie wynosiło:

4
R
2
S
=2
R
2
3.5. Trójkąt sferyczny
Jeśli narysujemy na sferze trzy różne okręgi
wielkie, to zostanie ona podzielona na osiem
przystających parami trójkątów sferycznych.
Trójkąty ABC i A'B'C' są przystające (co
wnioskujemy z symetrii względem środka
sfery). Okaże się to być przydatnym faktem.
2
=
S
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • cs-sysunia.htw.pl