Tarski Prawda i dowod, STUDIA NOTATKI, KOGNITYWISTYKA UMK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Alfred Tarski
Prawda i dowód
(
Truth and Proof
, „Scientific American”, t. 220, 1969, nr. 6)
tłum. Jan Zygmunt
fragmenty
(...)
1. Prawda
Naszym pierwszym zadaniem jest wyjaśnienie znaczenia terminu "prawdziwy". Zadanie to
rozumiane będzie tutaj w sposób ograniczony Pojęcie prawdy występuje w wielu rozmaitych
kontekstach, termin "prawdziwy" bywa stosowany do wielu różnych kategorii przedmiotów. W roz-
ważaniach psychologicznych mówi się o prawdziwych uczuciach i o prawdziwych przekonaniach; w
rozprawach z dziedziny estetyki analizuje się wewnętrzną prawdę dzieł sztuki. W tym artykule interesuje
nas jednak tylko to, co
można by nazwać
m e t a l o g i
c
z n y m pojęciem prawdy.
Mówiąc dokładniej,
zajmujemy się wyłącznie znaczeniem terminu "prawdziwy" w tych sytuacjach, w których termin ten użyty
jest w odniesieniu do zdań. Taki był zapewne pierwotny sposób użycia terminu "prawdziwy" w języku
ludzkim. Zdania traktowane są tutaj jako twory językowe, jako pewne układy dźwięków lub znaków
pisanych (choć rzecz jasna, nie każdy taki układ jest zdaniem). Ponadto, mówiąc o zdaniach, mamy
zawsze na myśli to, co w gramatyce nazywa się zdaniami oznajmującymi, w odróżnieniu od zdań
pytających i rozkazujących.
Wyjaśniając znaczenie jakiegoś terminu pochodzące z języka potocznego pamiętać trzeba, że cel i
charakter logiczny takiego wyjaśnienia nie jest ten sam we wszystkich możliwych wypadkach. Czasem
wyjaśnienie takie ma na celu zdanie sprawy z faktycznego sposobu użycia danego terminu, i wobec tego
pytać można, czy jest ono poprawne w tym sensie, że odpowiada faktycznemu stanowi rzeczy. Kiedy
indziej wyjaśnienie może mieć charakter normatywny, może być traktowane jako propozycja używania
danego terminu w pewien określony sposób, bez względu na to, czy propozycja ta jest w zgodzie z
faktycznym sposobem użycia tego terminu. Tego rodzaju wyjaśnienie może być oceniane np. z punktu
widzenia jego użyteczności, lecz nie jego poprawności. Można by tu wymienić jeszcze inne
ewentualności.
Wyjaśnienie, które chcemy podać w obecnym przypadku, ma do pewnego stopnia charakter
mieszany. To, co podamy, powinno być w zasadzie traktowane jako propozycja używania terminu
"prawdziwy" w pewien określony sposób; propozycji tej towarzyszy jednak przekonanie, że jest ona w
zgodzie z przeważającym w języku potocznym sposobem użycia tego terminu.
Nasze pojmowanie pojęcia prawdy wydaje się zasadniczo zgodne z różnymi wyjaśnieniami tego
pojęcia spotykanymi w literaturze filozoficznej. Najwcześniejsze chyba takie wyjaśnienie znaleźć można
w
Metafizyce,
sławnym dziele Arystotelesa:
Jest fałszem powiedzieć o tym, co jest, że nie jest, lub o tym, co nie jest, że jest; jest prawdą
powiedzieć o tym, co jest, że jest, lub o tym, co nie jest, że nie jest.
Tutaj i w dalszych rozważaniach zwrot "jest fałszem" znaczy to samo, co "nie jest prawdą"; podobnie
przymiotnik "fałszywy" może być zawsze zastąpiony przez "nieprawdziwy".
1
Intuicyjny sens sformułowania Arystotelesowego wydaje się dość jasny. Niemniej jednak
sformułowanie to pozostawia wiele do życzenia pod względem ścisłości i poprawności formalnej. W
szczególności nie jest ono dostatecznie ogólne, gdyż odnosi się wyłącznie do zdań, które "powiadają" o
czymś, "że jest" lub "że nie jest". W większości wypadków byłoby rzeczą prawie niemożliwą wtłoczyć
zdania w ten schemat bez zniekształcenia ich sensu i pogwałcenia ducha języka. To jest zapewne jednym
z powodów, dla których w filozofii nowoczesnej zaproponowano różne ujęcia mające zastąpić
sformułowanie Arystotelesowe. Cytujemy przykłady następujące:
Zdanie jest prawdziwe, jeśli oznacza istniejący stan rzeczy. Prawdziwość zdania polega na jego
zgodności (korespondencji) z rzeczywistością.
Sformułowania te, dzięki użyciu w nich specjalnych terminów filozoficznych, brzmią
niewątpliwie bardzo "uczenie". Mam wrażenie jednak, że przy bliższej analizie okazują się one mniej
jasne i jednoznaczne niż sformułowanie Arystotelesa.
Koncepcja prawdy, która znalazła wyraz w sformułowaniu podanym przez Arystotelesa (oraz w
pokrewnych sformułowaniach późniejszych), jest zazwyczaj nazywana
klasyczną
lub
semantyczną
koncepcją prawdy.
Przez semantykę rozumiemy tę część metalogiki, w której, luźno mówiąc, rozważa się
stosunki między tworami językowymi, na przykład zdaniami, a przedmiotami, do których się te twory
odnoszą. Semantyczny charakter terminu "prawdziwy" uwydatnia się wyraźnie w wyjaśnieniu
Arystotelesa i w niektórych sformułowaniach, które podane będą w naszych dalszych rozważaniach. Cza-
sem mówi się o
korespondencyjnej teorii prawdy
jako teorii opartej na tej klasycznej koncepcji.
1
Spróbujmy uzyskać tutaj bardziej precyzyjne wyjaśnienie klasycznej koncepcji prawdy, które
mogłoby zastąpić sformułowanie Arystotelesowe, zachowując jego zasadnicze intencje. W tym celu
będziemy musieli się uciec do pewnych technicznych środków współczesnej logiki. Będziemy również
musieli ustalić język, którego zdaniami będziemy się zajmowali; jest to konieczne już choćby dlatego, że
układ dźwięków lub znaków, który jest w jednym języku zdaniem sensownym - prawdziwym lub fał-
szywym - może być w innym języku wyrażeniem pozbawionym sensu. Na razie zakładamy, że język,
którym się zajmujemy, to potoczny język polski.
Zaczynamy od prostego zagadnienia. Weźmy pod uwagę jakieś zdanie w języku polskim, którego
sens nie budzi wątpliwości, np. zdanie "śnieg jest biały". Umawiamy się, że zdanie to będziemy oznaczać
przez ,,8", tak że ,,8" będzie nazwą tego zdania. Stawiamy sobie pytanie: co mamy na myśli mówiąc, że 8
jest zdaniem prawdziwym lub też jest zdaniem fałszywym? Odpowiedź na to pytanie jest prosta: w duchu
wyjaśnienia Arystotelesowego, mówiąc że 8 jest zdaniem prawdziwym, mamy po prostu na myśli, że
śnieg jest biały, a mówiąc że 8 jest zdaniem fałszywym, mamy na myśli, że śnieg nie jest biały.
Eliminując ,,8" uzyskujemy następujące sformułowania:
(1)
"śnieg jest biały" jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały;
(1’)
"śnieg jest biały" jest zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg nie jest biały.
Tak więc (1) i (1') wyjaśniają w sposób zadowalający znaczenie terminów "prawdziwy" i
"fałszywy" w przypadku, gdy terminy te odnoszą się do zdania "śnieg jest biały". Możemy uważać (1) i
(1') za cząstkowe definicje terminów "prawdziwy" i "fałszywy" - za definicje tych terminów w
odniesieniu do pewnego konkretnego zdania. Zauważmy, że (1), podobnie jak (1'), ma postać narzuconą
definicjom przez reguły logiki, a mianowicie postać równoważności logicznej. Składa się ona z dwóch
części, zwanych lewą i prawą stroną równoważności i powiązanych przez spójnik zdaniowy "wtedy i
tylko wtedy, gdy". Lewa strona jest to definiendum, czyli zwrot, którego znaczenie jest wyjaśnione przez
1
We współczesnej literaturze filozoficznej rozważa się również inne koncepcje i teorie prawdy, np. koncepcję utylitarystyczną i
teorię koherencyjną. Wydaje się, że koncepcje te mają charakter wyłącznie normatywny i mają niewiele wspólnego z faktycznym
sposobem użycia terminu "prawdziwy"; żadna z nich nie została dotąd sformułowana jasno i precyzyjnie. W artykule niniejszym
koncepcje te nie będą rozważane
2
definicję; prawa strona jest to definiens, czyli zwrot, który wyjaśnia to znaczenie. W obecnym przypadku
definiendum jest następującym wyrażeniem:
"śnieg jest biały" jest zdaniem prawdziwym;
definiens zaś ma postać:
śnieg jest biały.
Na pierwszy rzut oka może się wydać, że zdanie (1) traktowane jako definicja zawiera
podstawowy błąd, znany jako błędne koło. Chodzi o to, że pewne słowa, np. "śnieg", występują zarówno
w definiendum, jak i w definiens. W rzeczywistości jednak występują one tam w zupełnie różnych rolach.
Definiens zawiera słowo "śnieg" jako
syntaktyczną
(lub
organiczną) część:
definiens jest zdaniem, a
słowo "śnieg" jest jego podmiotem. Definiendum jest również zdaniem. Głosi ono, że definiens jest
zdaniem prawdziwym. Podmiotem tego zdania jest nazwa definiens utworzona przez ujęcie definiens w
cudzysłów. (Mówiąc o jakimś przedmiocie, używamy zawsze jego nazwy, a nie samego przedmiotu,
nawet wówczas, gdy w grę wchodzą przedmioty językowe). Z wielu względów wyrażenie ujęte w
cudzysłów powinno być traktowane gramatycznie jako pojedyncze słowo nie mające części
syntaktycznych. Więc w szczególności słowo "śnieg", które niewątpliwie jest częścią definiendum, nie
jest jego częścią syntaktyczną w tym samym sensie jak np. słowo "ein", które oczywiście jest częścią
słowa "Schwein", ale nie jest jego częścią syntaktyczną. Logik średniowieczny powiedziałby, że w
definiens "śnieg" występuje
in suppositione formalis,
w definiendum zaś
in suppositione materialis.
Słowa, które nie są syntaktycznymi częściami definiendum, nie mogą jednak być źródłem błędnego koła, i
niebezpieczeństwo błędnego koła znika.
Uwagi te dotyczą dość subtelnych zagadnień, które nie są całkiem proste z punktu widzenia
logiki. Zamiast rozważać je szczegółowo, wskażemy inny sposób postępowania, który rozwiewa wszelkie
obawy błędnego koła. Formułując (1) zastosowaliśmy zwykłą metodę tworzenia nazwy zdania lub innego
wyrażenia, polegającą na ujęciu tego wyrażenia w cudzysłów. Metoda ta ma wiele zalet, lecz jest również
źródłem wskazanych wyżej trudności. Dla usunięcia tych trudności wypróbujemy tu inną metodę
tworzenia nazw wyrażeń, metodę, którą można by scharakteryzować jako opis wyrażenia "litera po
literze". Używając tej metody otrzymujemy zamiast (1) następujące, nieco przydługie sformułowanie:
(2)
wyrażenie złożone z trzech słów, z których pierwsze jest układem pięciu kolejnych liter:
Eś, En, I, E i Ge, drugie - układem czterech kolejnych liter: Jot, E, Es i Te, a trzecie -
układem pięciu kolejnych liter: Be, I, A, El i Igrek, jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko
wtedy, gdy śnieg jest biały.
(2) nie różni się znaczeniem od (1); (1) można po prostu uważać za skrótową postać (2). Nowe
sformułowanie jest z pewnością znacznie mniej przejrzyste od starego, ma jednak tę zaletę, że nie stwarza
pozoru błędnego koła.
Cząstkowe definicje prawdy analogiczne do (1) [lub (2)] można równie dobrze konstruować dla
innych zdań. Każda z tych definicji ma postać:
(3)
"p" jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p,
gdzie za
"p"
po obu stronach (3) należy podstawić zdanie, dla którego konstruujemy definicję. Trzeba
jednak zwrócić szczególną uwagę na sytuacje, w których zdanie podstawiane za
"p"
zawiera słowo
"prawdziwy" jako część syntaktyczną. Równoważność (3) nie może być wówczas uważana za cząstkową
definicję prawdy, w przeciwnym bowiem razie byłaby ona oczywistym przykładem definicji zawierającej
błędne koło. I w tym jednak wypadku (3) jest zdaniem sensownym, a nawet zdaniem prawdziwym (z
3
punktu widzenia klasycznej koncepcji prawdy). Dla ilustracji przypuśćmy, że w recenzji jakiejś książki
spotykamy następujące zdanie:
(4)
nie każde zdanie w tej książce jest prawdziwe.
Stosując do (4) kryterium Arystotelesowe widzimy, że (4) jest zdaniem prawdziwym, jeżeli istotnie nie
każde zdanie w tej książce jest prawdziwe, a w przeciwnym wypadku jest to zdanie fałszywe. Innymi
słowy, możemy stwierdzić równoważność otrzymaną z (3) przez podstawienie (4) za
"p".
Oczywiście
równoważność ta ustala tylko warunki, w których zdanie (4) jest lub nie jest prawdziwe, ale sama przez
się nie pozwala nam rozstrzygnąć, który z tych wypadków rzeczywiście zachodzi. Dla sprawdzenia sądu
wyrażonego w (4) należałoby uważnie przeczytać omawianą książkę i zbadać prawdziwość zawartych w
niej zdań.
W świetle tych rozważań możemy teraz precyzyjniej sformułować nasz główny problem.
Przyjmujemy, że sposób użycia terminu "prawdziwy" w odniesieniu do zdań języka polskiego jest wtedy
i tylko wtedy zgodny z klasyczną koncepcją prawdy, gdy umożliwia on stwierdzenie każdej
równoważności kształtu (3), gdzie
"p"
zastąpione jest po obu stronach równoważności dowolnym zdaniem
języka polskiego. Gdy warunek ten jest spełniony, będziemy mówili krótko, że sposób użycia terminu
"prawdziwy" jest
merytorycznie
trafny
lub, po prostu,
trafny.
Nasz główny problem brzmi więc: czy
możemy ustalić trafny sposób użycia terminu "prawdziwy" dla zdań języka polskiego i jeżeli tak, to
jakimi metodami. Możemy oczywiście postawić analogiczne pytanie w odniesieniu do zdań
jakiegokolwiek innego języka. Problem ten będzie całkowicie rozwiązany, jeżeli uda nam się zbudować
ogólną definicję prawdy, która będzie nie tylko formalnie poprawna, lecz również merytorycznie trafna w
tym sensie, że wszystkie równoważności kształtu (3) będą jej logicznymi konsekwencjami. Jeżeli
definicja taka będzie przyjęta przez ludzi mówiących po polsku, ustali ona trafny sposób użycia terminu
"prawdziwy".
Przy pewnych specjalnych założeniach skonstruowanie ogólnej definicji prawdy jest rzeczą łatwą.
W istocie, załóżmy, że interesuje nas nie cały potoczny język polski, lecz pewien jego fragment, i że
chcemy zdefiniować termin "prawdziwy" wyłącznie w odniesieniu do zdań tego fragmentarycznego
języka. Będziemy nazywać ten fragmentaryczny język językiem
L.
Załóżmy dalej, że język
L
ma ściśle
sformułowane reguły syntaktyczne, które pozwalają nam w każdym poszczególnym wypadku odróżnić
zdanie od wyrażenia nie będącego zdaniem, oraz że ilość zdań języka
L
jest skończona (choć, być może,
bardzo wielka). Załóżmy wreszcie, że słowo "prawdziwy" nie występuje w
L,
oraz że znaczenie
wszystkich słów w
L
jest dostatecznie jasne, tak że nie mamy żadnych zastrzeżeń przeciw użyciu tych
słów przy definiowaniu prawdy. Przy tych założeniach postępujemy w sposób następujący: przede
wszystkim sporządzamy pełną listę wszystkich zdań języka
L;
przypuścimy np., że
L
ma dokładnie 1000
zdań i umówmy się używać symboli "
s
1
", "
s
2
", ..., "
s
1000
" jako skrótów kolejnych zdań na naszej liście.
Założenia powyższe można wyrazić w następujący sposób:
(5)
dla każdego x, x jest zdaniem w L wtedy i tylko wtedy, gdy albo x
= "
s
1
",
albo x
= "
s
2
",
...,
albo wreszcie x
= "
s
l000
'"
Następnie dla każdego ze zdań "
s
1
", "
s
2
",
..., "
s
l000
" budujemy cząstkową definicję prawdy jako konkretne
podstawienie schematu (3), a potem tworzymy koniunkcję wszystkich tych definicji cząstkowych:
(6)
(
"s
1
"
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy s
1
)
i
("
s
2
"
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy,
gdy s
2
), ...
i
("
s
1000
"
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy s
1000
).
Opierając się na założeniu (5), możemy teraz sformułować zdanie, które jest logicznie równoważne
zdaniu (6) i które czyni zadość formalnym wymaganiom stawianym definicjom w regułach
metodologicznych:
4
(7)
dla każdego zdania x w języku L, x jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy albo s
1
i x
=
"s
1
" ,
albo
s
2
i x
= "
s
2
",
...,
albo wreszcie s
1000
i x
= "
s
1000
".
W ten sposób otrzymaliśmy zdanie, które istotnie można przyjąć jako żądaną ogólną definicję
prawdy; jest to definicja formalnie poprawna i jest trafna w tym sensie, że wynikają z niej wszystkie
równoważności kształtu (3), gdzie
"p"
zastąpione zostało przez dowolne zdanie języka
L.
Przy
sposobności zauważmy, że (7) jest zdaniem w języku polskim, lecz oczywiście nie w języku
L;
ponieważ
(7) zawiera wszystkie zdania języka
L
jako części właściwe, nie może ono być identyczne z żadnym z
nich. Nasze dalsze rozważania rzucą więcej światła na tę sprawę.
Z oczywistych powodów nie można zastosować naszkicowanej przed chwilą metody, gdy
interesuje nas cały język polski, a nie tylko jego fragment. Usiłując sporządzić pełną listę zdań języka
polskiego napotykamy od razu tę trudność, że reguły gramatyki nie określają precyzyjnie, jakiego kształtu
wyrażenia (układy słów) mają być uważane za zdania: pewne wyrażenie, np. wykrzyknik, może funkcjo-
nować jako zdanie w danym kontekście, chociaż wyrażenie tego samego kształtu nie spełnia tej funkcji w
jakimś innym kontekście. Co więcej, zbiór wszystkich zdań języka polskiego jest, potencjalnie
przynajmniej, nieskończony. Chociaż ilość zdań sformułowanych w mowie i piśmie przez istoty ludzkie
do chwili obecnej jest niewątpliwie skończona, nikt zapewne nie zgodziłby się uznać, że lista tych zdań
obejmuje wszystkie zdania języka polskiego; przeciwnie, wydaje się rzeczą prawdopodobną, że widząc
taką listę każdy z nas mógłby z łatwością sformułować zdanie w języku polskim, którego na liście nie ma.
I wreszcie, fakt, że słowo "prawdziwy" jest wyrazem języka polskiego, uniemożliwia sam przez się
zastosowanie opisanego powyżej sposobu postępowania.
Z uwag tych nie wynika, że poszukiwana definicja prawdy dla dowolnych zdań języka polskiego
nie może być uzyskana na jakiejś innej drodze, być może przez użycie jakiejś zgoła odmiennej idei. Jest
jednak powód inny, poważniejszej i bardziej zasadniczej natury, który zdaje się wyłączać tę możliwość.
Co więcej, samo przypuszczenie, że merytorycznie trafne użycie terminu "prawdziwy" (w odniesieniu do
dowolnych zdań języka polskiego) daje się ustalić za pomocą jakiejkolwiek metody, prowadzi, jak się
okazuje, do sprzeczności. Najprostsze rozumowanie wykazujące taką sprzeczność znane jest jako
antynomia kłamcy;
naszkicujemy je w najbliższych paru wierszach. Weźmy pod uwagę następujące
zdanie:
(8)
zdanie występujące w wierszu 29 strony 5 tego tekstu jest fałszywe
.
(...)
*♦
Aby uprościć dalsze rozumowania używać będziemy litery
"T"
jako typograficznego skrótu wy-
rażenia
"zdanie występujące w wierszu 29 strony 5 tego tekstu jest fałszywe
.”
Zatem (8) przyjmie teraz
postać:
(8')
T jest fałszywe.
Sprawdzając numer strony, na której występuje zdanie (8), i licząc od góry wiersze na tej stronie, czytel-
nik łatwo się sam przekona, że zdanie (8) - to właśnie zdanie występujące w tym tekście w wierszu 29
strony 5. Używając symbolu "
T",
obserwację tę możemy wyrazić następująco:
(9)
"T jest fałszywe" jest identyczne ze zdaniem wydrukowanym w wierszu 29
strony 5 tego tekstu
.
Stąd, w oparciu o zasadę Leibniza*, wnosimy, że
*♦
W oryginale występuje rzecz jasna inne zdanie, bo inna jest numeracja stron i wierszy. Odpowiednim
modyfikacjom uległy też fragmenty niniejszego tekstu odnoszące się do rozważanego, „paradoksalnego” zdania –
przyp. AW
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]