Tablice Karnaugh, Szkoła, Technik elektronik, Podręczniki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Opracowanie cwiczen nr 2 - tablice Karnaugha, dr inz. Ernest Jamro
Tablice Karnaugha sa wygodnym sposobem zapisu funkcji ze wzgledu na latwosc
minimalizacji.
Dla kazdej kombinacji zmiennych do kratek tablicy wpisujemy wartosc funkcji: „1”, „0”, a
gdy funkcja jest nieokreslona „x” lub „ - ”.
Przyklady tablic Karnaugha dla odpowiednio dwóch, trzech i czterech zmiennych
wejsciowych i jednej wyjsciowej:
a)
A
0 1
b)
A
0 1
c)
AB
00 01 11 10
B
BC
CD
0
x 1
00
1 0
00
0
x
x 0
1
1 0
01
1
x
01
x 0 1 0
11
0
x
11
0 1 1 0
10
1 1
10
0 1 0 1
Powyzszym tablicom odpowiada zapis funkcji za pomoca tabeli:
a)
AB Q (wartosc)
b)
ABC
Q
c)
ABCD
Q
0 0
x
0 0 0
1
0 0 0 0
0
0 1
1
0 0 1
1
0 0 0 1
x
1 0
1
0 1 0
1
0 0 1 0
0
1 1
0
0 1 1
0
0 0 1 1
0
1 0 0
0
0 1 0 0
x
1 0 1
x
0 1 0 1
0
1 1 0
1
0 1 1 0
1
1 1 1
x
0 1 1 1
1
1 0 0 0
0
1 0 0 1
0
1 0 1 0
1
1 0 1 1
0
1 1 0 0
x
1 1 0 1
1
1 1 1 0
0
1 1 1 1
1
Zmienne wejsciowe sa zapisywane za pomoca kodu Grey’a (a nie systemem dwójkowym),
dzieki czemu sasiednie komórki róznia sie tylko jednym bitem. Ma to znaczenie podczas
minimalizacji formul Boolowskich. Wykorzystujemy tu regule sklejania:
AB + AB’ = A( B + B’ ) = A lub (A + B) (A + B’) = A
Z tego wynika, ze sasiednie zmienne rózniace sie jednym bitem moga zostac zredukowane.
Minimalizacje formuly Boolowskiej za pomoca metody Karnaugha (dla 2,3 lub 4
zmiennych) przeprowadza sie nastepujaco:
AB
CD
00 01 11 10
a)
Postac dysjunkcyjna
- zaznaczamy jak
najwieksze grupy pól zawierajacych tylko jedynki, przy
czym:
?? ilosc pól w grupie ma byc potega dwójki: 1,2,4,8,...
00
1
0 0 1
?? laczymy tylko sasiadujace pola lub oddzielone
krawedzia tablicy
(
kolor niebieski - jedna grupa (mozna tak
laczyc, gdyz kazde dwa pola w obrebie grupy róznia sie jednym bitem)
01
x 0 0 1
11
0 1 0 0
10
1 0 0 1
?? wybieramy takie grupy, aby zawieraly wszystkie
jedynki co najmniej raz (w obrebie kilku grup ta sama
jedynka moze sie powtarzac). Ilosc pól które zawiera
pojedyncza grupa ma byc jak najwieksza, a laczna
ilosc grup jak najmniejsza. Zapewnia to
minimalizacje formuly.
?? Uwaga: W przypadku wystepowania znaków nieokreslonosci mozna (nie jest to
konieczne) polaczyc z jedynkami lub zerami. Otrzymamy dzieki temu prostsza
formule, gdyz wiekszy obszar opisuje mniej zmiennych.
(wykorzystane przy tworzeniu
grupy zielonej i czerwonej)
Dla naszego przykladu grupa zielona, niebieska i czarna pokrywaja wszystkie jedynki.
Jednakze nalezy wybrac grupe czerwona zamiast zielonej poniewaz pokrywa ona wieksza
liczbe pól. W konsekwencji rozwiazaniem jest grupa niebieska, czerwona i czarna.
Zapis formuly Boolowskiej w przypadku postaci dysjunkcyjnej (suma iloczynów)
A
B
0
0
01 11 1
0
Formule zapisujemy w postaci sumy iloczynów. W
sklad iloczynów wchodza zmienne wejsciowe, które w
obrebie jednej grupy maja stala wartosc. Gdy zmienna
wynosi jeden - nie neguj emy tej zmiennej wpisujac ja
do iloczynu, dla wartosci zero - zapisujemy postac
zanegowana
Przykladowo dla czerwonej grupy argumenty
wejsciowe B i C nie zmieniaja swoich wartosci
(wynoszacych zero).
skladnik pochodzacy od czerwonej grupy zapiszemy
wiec
B’C’
C
D
0
0
1 0 0 1
0
1
x 0 0 1
11
0 1 0 0
10
1 0 0 1
Jedynke z czarnej grupy zapisujemy jako
A’BCD
-
zmienne maja stale wartosci (A=0 czyli negujemy,
pozostale 1, czyli piszemy postac niezanegowana)
Zapisujac formule dla grup czerwonej, czarnej, niebieskiej otrzymujemy :
Y =
B’C’
+ A’BCD +
B’D’
Dla grup zielonej, czarnej, niebieskiej otrzymujemy:
Y =
B’C’D
+ A’BCD +
B’D’
Jak widac, pierwsza formula jest prostsza, co potwierdza slusznosc wyboru grup mozliwie
najwiekszych.
AB
b)
Postac koniunkcyjna
- rózni sie od poprzedniej tym, ze grupujemy
zera
,
oraz ze formule zapisujemy w postaci
iloczynu sum
.
Zmienne majace stala wartosc
negujemy,
gdy ich
wartosc wynosi
jeden,
dla wartosci
zero
- zapisujemy
postac
niezanegowana
.
C
00 01 11 10
0
0 0 0 0
1
0 1 1 1
Np. dla tablicy obok niebieska grupe zapiszemy jako
sume ( A + B ). (Zmienne A, B maja dla tej grupy stala
wartosc zero). Cala formula bedzie miala postac:
Y =
( A + B )
*
C
Minimalizacja formuly Boolowskiej za pomoca metody Karnaugha dla pieciu lub
szesciu zmiennych :
Jest przeprowadzana tak jak minimalizacja dla mniejszej ilosci zmiennych, dodatkowo
jeszcze w diagramie pieciu lub szesciu zmiennych mozna sklejac grupy kratek lezace
symetrycznie wzgledem osi symetrii w dwóch czesciach diagramu (przyklad ponizej)
Y
ABC
DE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
0 1 0 0 0 0 1 0
Postac dysjunkcyjna:
01
0 0 1 0 0 1 0 0
Y =
B’CD’E’
+
BCE
11
0 0 1 0 0 1 0 0
10
0 0 0 0 0 0 0 0
os symetrii
Przyklad I.
Sterowanie wyswietlaczem siedmiosegmentowym (przyklad zastosowania t. K.)
a
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9
10
11 12 13 14 15
f
b
g
e
c
d
Kazdy element wyswietlacza oznaczamy umownie litera. Cyfry maja symbole odpowiednio
od 0 - 9, a dodatkowo litery oznaczajace liczby w systemie szesnastkowym A - F symbole
odpowiednio od 10 - 15
Sterowanie takim wyswietlaczem zapisujemy za pomoca tablic Karnaugha osobno dla
kazdego elementu a - g , w których zmienne beda opisywac symbol wyswietlanego znaku
(wynik to 1- zapalony element dla danej zmiennej, 0 - wylaczony)
Symbole z systemu dziesietnego zamieniamy na dwójkowy:
Symbol
DCBA - zmienne
DCBA
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
10(A)
1010
3
0011
11(B)
1011
4
0100
12(C)
1100
5
0101
13(D)
1101
6
0110
14(E)
1110
7
0111
15(F)
1111
Daje nam to nastepujaca kolejnosc w tablicy:
BA
DC
00 01 11 10
00
0
1
3
2
01
4
5
7
6
11
12
13
15
14
10
8
9
11
10
Np. dla segmentu b funkcja ma wartosc „1” dla symboli {0,1,2,3,4,7,8,9,10(A),13(D)}
b
BA
DC
00 01 11 10
00
1
1 1 1
01
1 0 1 0
11
0 1 0 0
C
10
1 1 0 1
D
A
B
b =
D’C’
+
C’A’
+
D’B’A’ + D’BA + DB’A
(postac dysjunkcyjna)
b
BA
DC
00 01 11 10
00
1 1 1 1
01
1 0 1 0
11
0 1 0 0
10
1 1 0 1
b =
( D + C’ + B + A’ )
( C’ + B’ + A )( D’ + B’ + A’
)
( D’ + C’ + A)
(postac koniunkcyjna)
Jezeli na wyswietlaczu potrzebujemy jedynie liczb od 0 do 9 stany odpowiadajace literom A-
F moga przyjmowac wartosci dowolne, gdyz tych stanów po prostu nie wykorzystujemy. W
tabeli zaznaczamy to za pomoca stanu nieokreslonego „x”. Rozwazmy ten przypadek dla
powyzszego segmentu :
b
BA
DC
00 01 11 10
00
1 1 1 1
01
1 0 1 0
11
x x x x
10
1 1 x x
b =
AB
+
A’B’
+
C’
(postac dysjunkcyjna) - uproszczone dzieki zgrupowaniu stanów
nieokreslonych razem z jedynkami
[ Pobierz całość w formacie PDF ]