TWIERDZENIA Rachunku Różniczkowego, Analiza matematyczna Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]TWIERDZENIA RACHUNKU RÓśNICZKOWEGO
1. Monotoniczność funkcji
Twierdzenie Rolle’a.
JeŜeli funkcja
x
:
f
(
x
)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest róŜniczkowalna w przedziale (a,b) (tzn. istnieje pochodna
x
:
f
'
x
)
wewnątrz przedziału [a,b]) oraz
3) spełniony jest warunek f(a)=f(b), to istnieje punkt c
Î
(a,b) taki, Ŝe
f ‘(c) = 0.
Geometrycznie Twierdzenie Rolle’a wyraŜa fakt, Ŝe jeŜeli funkcja f
1) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
2) jest róŜniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) i
3) przyjmuje na końcach przedziały równe wartości, to istnieje w
przedziale (a,b) punkt c taki, w którym styczna do wykresu funkcji f
jest równoległa do osi OX (zob.: Rys. 1)
Y
f’(c)=0
y=f(x)
f(a)=f(b)
0
a
c
c
1
b
f’(c
1
)
Rys 1.
47
(
Twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie o wartości średniej).
JeŜeli funkcja
x
:
f
(
x
)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest róŜniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje punkt c
Î
(a,b) taki,
Ŝe
f
'
(
c
)
=
f
(
b
)
-
f
(
a
)
.
b
-
a
Interpretację geometryczną twierdzenia o wartości średniej moŜna
Y
f
'
(
c
)
=
tg
a
styczna
sieczna
f
(
b
)
-
f
(
a
)
=
tg
b
b
-
a
P
2
P
3
P
=
(
a
,
f
(
a
))
1
y=f(x)
P
2
=
(
b
,
f
(
b
))
P
1
P
3
=
(
c
,
f
(
c
))
a
b
0
a
c
b
tg
a
=
tg
b
odczytać z Rys. 2.
Rys 2.
Wnioski:
Niech będzie dana funkcja
f
:
(
a
,
b
)
Î
x
®
y
=
f
(
x
)
Î
R
. Zakładamy, Ŝe
funkcja f jest róŜniczkowalna w
)
(
b
a
, tzn. istnieje pochodna
,
x
:
f
'
x
(
)
.
Twierdzenie 1.1.
JeŜeli
f
'
(
x
)
=
0
dla
x
Î
(
b
a
,
)
, to funkcja f jest stała w przedziale
)
(
b
a
.
,
48
Twierdzenie 1.2.
JeŜeli
f
'
(
x
)
<
0
dla kaŜdego
x
Î
(
b
a
,
)
, to funkcja f jest malejąca
w przedziale
)
(
b
a
.
,
Twierdzenie 1.3.
JeŜeli
f
'
(
x
)
>
0
dla kaŜdego
x
Î
(
b
a
,
)
, to funkcja f jest rosnąca
w przedziale
)
(
b
a
.
,
Uwagi:
1. Twierdzenia 1.1, 1.2, 1.3, są prawdziwe równieŜ w przypadkach,
gdy przedziałami są
(
-¥
,
b
),
(
a
,
+¥
),
(
-¥
,
+¥
)
.
2. Z Twierdzeń 1.2 i 1.3 wynika, Ŝe przedziałami monotoniczności
funkcji będą te przedziały, w których pierwsze pochodne funkcji
zachowały stały znak.
Przykład 1.1.
RozwaŜmy funkcję
x
:
f
(
x
)
=
1
-
x
2
.
Funkcja f jest określona w zbiorze
D
=
[ ]
-
1
, bo dla
-
1
£
x
będzie
£
1
1
-
x
2
³
0
.
Jako przedział
(
b
a
moŜemy przyjąć przedział
,
)
(
a
,
b
)
=
(
-
1
. W tym
przedziale funkcja f jest róŜniczkowalna, bo istnieje
x
:
f
'
(
x
)
=
1
(
-
2
x
)
=
-
x
, gdy
x
Î
(-
1
. PoniewaŜ dla
x
Î
(-
1
2
2
2
1
-
x
1
-
x
będzie
1
-
x
2
>
0
, więc znak pochodnej
f
będzie zaleŜał od znaku
'
x
)
wyraŜenia
x
-
.
49
(
JeŜeli
-
1
£
x
, to
£
0
-
x
i wtedy
>
0
f
'
(
x
)
>
0
. Zatem w przedziale (-1,0)
funkcja jest funkcją rosnącą.
JeŜeli
0
£
x
, to
<
1
-
x
i wtedy
<
0
f
'
(
x
)
<
0
. Zatem w przedziale (-1,0)
funkcja jest funkcją malejącą.
Dla
0
x
będzie
=
f
'
(
0
=
-
0
=
0
.
1
-
0
2
Otrzymane wyniki moŜemy zestawić w następującej tabelce:
x
-
1
<
x
<
0
x
=
0
0
<
x
<
1
f
'
x
)
+
=
0
-
f
(
x
)
rosnąca
f
(
0
)
=
1
malejąca
Ćwiczenie 1.1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności dla funkcji :
1.
x
:
y
=
ax
, gdy:
1.1.
a
=
-
3
,
1.2.
a
=
2
.
2.
x
:
y
=
h
(
x
)
=
a
, gdy:
x
2.1.
a
=
-
0
, 2.2.
4
a
.
=
3.
x
:
y
=
ax
+
b
, gdy :
3.1.
2
a
i
1
=
b
,
=
3.2.
a
=
-
1
i
b
=
-
3
.
3.3.
a
=
0
i
b
=
-
,
3.4.
3
a
i
=
b
=
0
.
4.
x
:
y
=
1
, gdy :
x
-
a
50
(
4.1.
a
=
-
4
,
4.2.
1
a
.
=
5.
x
:
y
=
ax
2
-
bx
, gdy :
5.1.
a
=
-
1
i
b
=
-
3
,
5.2.
a
=
-
1
i
3
b
;
=
5.3.
2
a
i
=
b
=
-
1
,
5.4.
1
a
i
4
=
b
.
=
2. Ekstremum lokalne funkcji
Zakładamy, Ŝe funkcja
x
:
f
(
x
)
jest określona w pewnym otoczeniu
Ot
(
x
0
,
d
)
=
(
x
0
-
d
,
x
0
+
d
)
punktu
0
x
.
Definicja 2.1.
Mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie
0
x
maksimum lokalne
(
minimum
lokalne
)
, jeŜeli istnieje takie sąsiedztwo
S
(
x
0
,
d
)
=
(
x
0
-
d
,
x
0
)
È
(
x
0
,
x
0
+
d
)
punktu
0
x
,
Ŝe :
f
(
x
)
£
f
(
x
0
)
dla kaŜdego
x
Î
S
(
0
x
,
d
)
,
(
f
(
0
x
)
£
f
(
x
)
dla kaŜdego
x
Î
S
(
0
x
,
d
)
).
y=f(x)
y=f(x)
max
y
max
y
min
min
0
X
0
-
d
X
0
X
0
+
d
0
X
0
-
d
X
0
X
0
+
d
51
[ Pobierz całość w formacie PDF ]