twierdzenia o pochodnych, matematyka 1SD
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Twierdzeniaopochodnych
Wyk“adnr11(In»ynieriasanitarna)
•Twierdzeniaowarto–ci–redniej
•Regu“adeL’Hospitala
•RozwiniƒcieTaylorafunkcji
Twierdzenie1.(Roll’a
1
)
Je»elifunkcjafjestr
ó
»niczkowalnana(a,b)if(a)=f(b),toistniejetaki
punktc2(a,b),»e
f
0
(c)=0.
Twierdzenie2.(Lagrange’a
2
)
Je»elifunkcjafjestr
ó
»niczkowalnana(a,b),toistniejetakipunktc2(a,b),
»e
f
0
(c)=
f(b)−f(a)
b−a
.
Twierdzenie3.(warunkiwystarczaj¡cemonotoniczno–cifunkcji)
NiechIoznaczadowolnyprzedzia“.Je»elidlaka»degox2Ifunkcjafspe“nia
warunek:
1.f
0
(x)=0,tojeststa“anaI;
2.f
0
(x)>0,tojestrosn¡canaI;
3.f
0
(x)<0,tojestmalej¡caI.
‚
wiczenie1.Znale„¢przedzia“ymonotoniczno–cipodanychfunkcji:
a)f(x)=
x
Twierdzenie4.(regu“adeL’Hospitala
3
dlanieoznaczono–ci
0
0
)
Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:
1.lim
x!x
0
f(x)=lim
f
0
(x)
g
0
(x)
(w“a–ciwalubniew“a–ciwa),
to
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Uwaga1.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-
nychorazgranicw−1lubw1.
f(x)
g(x)
=lim
lim
x!x
0
x!x
0
‚
wiczenie2.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
x!
x
10
−1
x
3
−1
;
b)lim
x!1
1
MichelRolle(1652-1719)-matematykfrancuski
2
JosephLouisdeLagrange(1736-1813)-matematykiastronomfrancuski
3
GuillaumeFran
ç
oisAntoinedeL’Hospital(1661-1704)-matematykfrancuski.
1
1+x
2
;
b)f(x)=sinx+cosx;
c)f(x)=3x
5
+5x
3
;
d)f(x)=x+cosx.
x!x
0
g(x)=0,przyczymg(x)6=0,
2.istniejegranicalim
x!x
0
sin3x
sin5x
;
c)lim
x!1
ln
1+
1
x
2
;
lncosx
lncos2x
.
Twierdzenie5.(regu“adeL’Hospitaladlanieoznaczono–ci
1
1
)
Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:
1.lim
d)lim
x!0
+
x!x
0
f(x)=lim
x!x
0
g(x)=1,
f
0
(x)
g
0
(x)
(w“a–ciwalubniew“a–ciwa),
2.istniejegranicalim
x!x
0
to
f(x)
g(x)
=lim
f
0
(x)
g
0
(x)
.
lim
x!x
0
x!x
0
Uwaga2.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-
nychorazgranicw−1lubw1.
‚
wiczenie3.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
x!1
tan3x
tanx
;
b)lim
x!
2
x
3
−2x+1
4x
3
+2
;
c)lim
x!1
lnsinx
lntanx
.
d)lim
x!0
+
To»samo–cizmieniaj¡cerodzajenieoznaczono–ci
Nieoznaczono–¢Stosowanato»samo–¢Otrzymananieoznaczono–¢
0·1 f·g=
f
0
lub
1
1
g
1
g
−
1
1−1 f−g=
f
0
0
1
fg
1
1
,1
0
,0
0
f
g
=e
glnf
0·1
Uwaga3.To»samo–¢podan¡dlanieoznaczono–ci1−1stosujemydopiero
wtedy,gdyzawiod¡innesposobyjejusuwania.
‚
wiczenie4.Obliczy¢podanegranice:
a)lim
x!0
+
xlnx;
2
−2arctanx
lnx
x
;
0
1
b)lim
x!0
1
2x
2
−
1
;
2
arctanx
2xtanx
x
c)lim
x!1
.
De
nicja1.(wielomianyTaylora
4
iMaclaurina
5
)
Za“
ó
»my,»efunkcjafmawpunkciex
0
pochodn¡rzƒduk,gdziek2
N
[{0}.
Wielomian
P
k
(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x−x
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x−x
0
)
2
+···+
f
(k)
k!
(x−x
0
)
k
nazywamywielomianemTaylorarzƒdukfunkcjifwpunkciex
0
.Dlax
0
=0
wielomiantennazywamywielomianemMaclaurina.
Twierdzenie6.(wz
ó
rTaylorazreszt¡Lagrange’a)
Je»elifunkcjafmawszystkiepochodnedorzƒdunw“¡czenienaprzedziale
[x
0
,x],toistniejetakipunktc2(x
0
,x),»e
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x−x
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x−x
0
)
2
+...
+
f
(n−1)
(n−1)!
(x−x
0
)
(n−1)
+
f
(n)
(c)
n!
(x−x
0
)
n
.
‚
wiczenie5.Napisa¢wz
ó
rTaylorazreszt¡Lagrange’adlapodanychfunkcji
f,punkt
ó
wx
0
orazn:
a)f(x)=cosx,x
0
=,n=6;
b)f(x)=
1
p
x
,x
0
=1,n=3.
‚
wiczenie6.Rozwin¡¢podanefunkcjewszeregiMaclaurina:
a)f(x)=e
x
;
b)g(x)=ln(1+x).
4
BrookTaylor(1685-1731)-matematykangielski.
5
ColinMaclaurin(1698-1746)-matematykszkocki.
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]