TSiP Wyklad 02 MS correct, Nauka, pomoce, Teoria Sprężystości i Plastyczności, WYKŁADY
[ Pobierz całość w formacie PDF ]//-->Określa się macierz transformacjiAij= ⎡cosαij⎤ = ⎡cos(xi′,xj)⎤⎣⎦ ⎣⎦′np.A12=cos(x1,x2)Tensory ortogonalneObrót układu współrzędnych (bazy)Ox1x2x3- układ pierwotny′ ′ ′Ox1x2x3- po transformacjiDefiniując kąty obrotuαij=(xi′,xj)J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann•Teoria sprężystości i plastyczności– Wykład. 1•KMBiM WILiŚ PG1W układzie pierwotnym dowolny punktPma współrzędneTx=xj={x1x2x3}w nowym układzie ten sam punkt ma′ ′ ′współrzędnex′ =x′j={x1x2x3}.Transformacja współrzędnych punktuP(zarazem WSP. Wektorawodzącego tego punktu)lubxi′ =AijxjxT=Ax′x1=A11x1+A12x2+A13x3′x2=A21x1+A22x2+A23x3′x3=A31x1+A32x2+A33x3′gdzieAij=cos(xi′,xj), np.A12=cos(x1,x2)TWłasności macierzy transformacji– długości wektorów wodzącychxix′punktuPw obu układach sąjednakowe, stąd:J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann•Teoria sprężystości i plastyczności– Wykład. 1•KMBiM WILiŚ PG2x22Długość wektora jest stała:(AijAik−δik)xjxk=dla każdegoxStądAijAik=δiklubATA=IwięcAT=A−1A≡Aik– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)Wyznacznikdet(A A)=(detATTx′ =x′Tx′ =xi′xi′ =(Aijxj)(Aikxk)=AijAikxjxk=xTx=xkxk=δjkxjxk)(detA)=(detA)2=1więcdetA= ±1Macierz (tensory) o powyższych własnościach–grupa ortogonalna– obroty i przekształcenia (odbicia) układówwspółrzędnych ~GdydetA=1→grupa obrotówSO(3)specjalna, ortogonalna, wprzestrzeni trójwymiarowejGdydetA= −1→odbicia (nie tworzą grupy),Łącznedziałania – grupa ortogonalnaO(3).J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann•Teoria sprężystości i plastyczności– Wykład. 1•KMBiM WILiŚ PG3Transformacja wielkości tensorowychPodstawa – transformacja wektorów bazowych:e′ =Ae(ei′ =Aijej)Współrzędne dowolnego wektora:u′ =Au(ui′ =Aijuj)Współrzędne tensora 2 walencji:T′ =ATAT(Tij′ =AikAjlTkl)Współrzędne tensora dowolnej walencji:Tijk.....=AipAjqAkm....Tpqm....Formalna reprezentacja wielkości tensorowychTensor walencji 1 – wektor – składowe w danej baziee={ei}={e1e2e3}u≡uiei=ukek,u′ ≡ui′ei′Tensor walencji 2 – składowe w 9-wymiarowej polibazieei⊗ej(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorówbazowych′ ′T≡Tklek⊗el=Tklek⊗el′J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann•Teoria sprężystości i plastyczności– Wykład. 1•KMBiM WILiŚ PG4Działania na tensorach walencji 1 i 2 – przykłady:ZapiswskaźnikowyZapisabsolutnyNazwa działania i rezultatzwężenie (kontrakcja) wektorów -Øiloczyn skalarny - liczbamnożenie tensorowe (diada) wektorów –Ømacierz (tensor walencji 2)zwężenie (kontrakcja)tensora walencji 2 i wektoraØwektormnożenie tensorowe (diada) tensorawalencji 2 i wektoraØtensor walencji 3zwężenie (kontrakcja) tensorów walencji 2Øtensor walencji 2mnożenie tensorowe (diada) tensorówwalencji 2Øtensor walencji 4zwężenie pełne tensorów walencji 2ØliczbaaibiaibjCijbjCijbkEijFjkEijEkmEijFijaba⊗bCbC⊗bEFE⊗FEiFJ. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann•Teoria sprężystości i plastyczności– Wykład. 1•KMBiM WILiŚ PG5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]