TSiP Cw 11-notatki, tsip zadania3 I semestr mgr
[ Pobierz całość w formacie PDF ]Ćwiczenie 11
Przykłady analizy płyt – pasmo płytowe, płyty prostokątne
1) PASMO PŁYTOWE
(
)
Równanie różniczkowe ugięcia płyty
wx x
:
,
12
(
)
4
4
4
qx x
,
3
∂
w
∂
ww
∂
Eh
⋅
12
+⋅
2
+ =
, gdzie:
D
=
← sztywność płytowa
(
)
4
22
4
∂
x
∂∂ ∂
xx
x
D
2
12
⋅−
1
ν
1
12
2
Przyjmujemy, że obciążenie jest funkcją jednej zmiennej –
( )
qx
, a płyta jest nieograniczona w kierunku osi
x
.
1
Jest to więc przypadek
symetrii translacyjnej
!
Zakładamy, że szerokość pasma
a
jest stała →
a
!
=
const
qx
( )
,
Eh
ν
1
z powyższych założeń wynika,
że dla każdego
x
linie ugięcia są takie same
, zatem:
x
w
∂
w
x
=
0
∂
2
∂
4
w
( )
Wynika stąd równanie pasma płytowego:
D
⋅
=
qx
4
1
1
∂
x
(
)
x
→ ±∞
Można więc stosować symbol pochodnej zwyczajnej i całkować bezpośrednio funkcje jednej zmiennej:
3
dw
( )
∫
D
⋅
=
q x
dx
C
itd.
1
1
1
3
1
dx
Przypadek szczególny:
Pasmo swobodnie podparte, obciążone równomiernie
q
=
const
h
=
const
a
( )
4
dwx
( )
1
D
⋅
=
qx
=
q
Równanie pasma płytowego:
1
4
1
dx
( )
3
dw x
∫
Dalej:
1
D
⋅
=
qdx
+= +
C
qx
C
1
1
1
1
3
1
dx
( )
2
dwx
2
x
(
)
1
∫
D
⋅
= + =++
qx
C
dx
q
1
C x
C
1
1
1
11
2
2
1
dx
2
( )
dw x
x
2
x
3
x
2
1
∫
D
⋅
= ++ =+ ++
q
1
CxC x q
1
C
1
CxC
1
1
2
1
1
2
1
3
dx
2
6
2
1
3
2
4
3
2
x
x
x
x
x
( )
∫
Dwx
⋅
=
q
1
+ ++ =
C
1
CxC x q
1
+ + ++
C
1
C
1
CxC
1
1
2
1
3
1
1
2
3
1
4
6
2
24
6
2
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
Warunki brzegowe:
1°
w
=
=
0
x
0
1
2°
w
=
0
xa
=
1
2
∂
∂
w
x
3°
0
2
1
x
=
0
1
2
∂
w
x
4°
=
0
2
1
∂
xa
=
1
Realizując warunki brzegowe dla:
qx
⋅
4
C x
⋅
3
C x
⋅
2
( )
Dwx
⋅
=
1
11
+
21
+
C x
+ ⋅ , mamy:
C
1
31
4
24
6
2
= +
q
0
CC
⋅
0
⋅
0
C
=
0
z 1° →
0
1
+
2
CC
+ ⋅+ →
4
0
3
4
24
6
2
= + ⋅+ →
2
q
0
z 3° →
C
=
0
0
CC
0
1
2
2
2
qa
⋅
qa
⋅
z 4° →
0
=
Ca
+ ⋅+
1
0
C
= −
1
2
2
4
3
2
qa
⋅
3
qa
⋅
qa
⋅
a
0
⋅
a
z 2° →
0
=
+−
⋅ +
Ca
+ ⋅+ →
0
C
=
3
3
24
24
2
6
2
4
3
2
qx
⋅
C x
⋅
C x
⋅
( )
Zatem:
Dwx
⋅
=
1
11
+
21
+
C x
+ ⋅ +
C
1
31
4
24
6
2
4
3
3
q x
⋅
qa x
⋅
qa
⋅
x
więc:
( )
Dwx
⋅
=
1
−
1
+
1
1
24
12
24
4
3
4
qa
x
x
x
Lub, w innej postaci:
( )
wx
=
1
⋅
2
−⋅
1
1
+
1
24
⋅
Da
a
a
4
3
4
a
qa
a
1
a
1
a
1
Zauważmy, że:
wx
= =
⋅ ⋅ −⋅ ⋅ + ⋅
2
1
2
24
⋅
Da
2
2
a
2
a
4
3
4
4
qa
1
11
a
qa
1
11
w
=
⋅
2
−⋅
+
=
⋅ −⋅+
2
2
24
⋅
D
2
2
2
24
⋅
D
16
8
2
4
4
a
5
qa
a
5
qa
=
= ⋅
(
)
w
⋅
2
Tak więc:
;
w
⋅−
1
ν
3
2
384
D
2
32
Eh
⋅
a
a
2
2
Momenty w paśmie płytowym:
2
2
2
2
2
∂
w
qa
x
x
qa
x
x
MD
x
=−⋅
∂
=− ⋅
12
⋅
−⋅
12
−⋅
−
1
1
1
1
11
2
1
24
a
a
2
a
a
2
∂
w
MD
=−⋅⋅ =⋅
∂
ν
ν
M
22
11
2
1
x
x
2
∂
w
(
)
MD
=−⋅− ⋅
1
ν
=
∂∂
0
w
12
xx
2
qa
12
ν⋅
2
8
qa
8
Wykresy:
(
)
a
Mx
=
2
22
1
(
)
(
)
M
x
=
const
x
→ ±∞
11
2
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
Dyskusja!
1) Różnica sztywności między belką, a pasmem płytowym
Sztywność belki o szerokości
b=1m
, w stosunku do sztywności pasma płytowego (
EJ / D
):
(
/
)
2
1
−
ν
EJ
3
2
=⋅ ⋅
Eh
=−
1
ν
3
D
12
⋅⋅
Eh
(
)
2
więc:
w
=−⋅
1
ν
w
(przy tej samej szerokości
a
i obciążeniu)
pasma
belki
Uzasadnienie fizyczne:
ściskanie (rozszerzenie przekroju)
h
h
x
ν≠
← klinowanie się pasków
0
rozciąganie
(zwężenie przekroju)
deformacja dla
2) Pasmo żelbetowe
1
5
Przyjmuje się, iż dla pasma żelbetowego
ν≈ .
a
M
zbrojenie na moment
22
zbrojenie na moment
1
M
(
)
1
20%
→
odpowiada
ν
:
=
5
2) PŁYTA PROSTOKĄTNA
Płyta
swobodnie podparta
,
obciążenie podwójnie sinusoidalne
:
a
x
q
,
Eh
ν
b
x
3
Eh
⋅
D
=
← sztywność płytowa
(
)
2
12
⋅−
1
ν
π
x
π
x
(
)
← funkcja obciążenia
qx x
,
⋅
q
sin
⋅
1
cos
2
12
0
a
b
1
π
x
π
x
4
∇=⋅ ⋅
wq
D
sin
1
⋅
cos
2
←
równanie płytowe
0
a
b
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
Warunki brzegowe
(pary warunków brzegowych)
:
1°
(
)
;
(
)
wx
=
0;
x
0
w x
=
a x
;
0
1
2
1
2
2°
(
w x x
= =
;
(
)
)
;
00
w x x
;
= =
0
1
2
1
2
3°
(
)
;
(
)
wx x
=
0;
0
w
x
=
a x
;
0
,11
1
2
,11
1
2
4°
(
x x
= = ;
(
)
)
w
;
00
w
x x
;
= =
0
,22
1
2
,22
1
2
Przyjmujemy rozwiązanie równ
ania płyty w postaci:
(
π
x
π
x
)
wx x
,
⋅
=
C
sin
⋅
1
cos
2
12
a
b
Rozwiązanie to spełnia
wszystkie
warunki brzegowe!
(
)
Różniczkowanie funkcji
wx x
,
i porównanie wyrazów przy tych samych funkcjach trygonometrycznych:
2
12
4
4
4
πππ
2
11
q
q
4
C
=
0
C
⋅
+ + = ⋅
C
π
+ =→
0
4
22
4
2
2
2
a
ab
b
a
b
D
11
4
π
D
⋅
+
2
2
ab
Momenty w paśmie płytowym:
(
)
M
=−⋅ +⋅
Dw
ν
w
11
,11
,22
q
1
1
π
x
π
x
M
=
0
⋅ +⋅ ⋅
ν
sin
1
⋅
sin
2
11
2
a
2
b
2
a
b
11
π
2
⋅
+
ab
2
2
(
)
M
=−⋅
Dw
+⋅
ν
w
22
,22
,11
q
11
sin
π
x
π
x
M
=
0
⋅ ⋅
ν
+ ⋅
1
⋅
sin
2
22
2
2
2
ab
a
b
11
2
π
⋅
+
2
2
ab
(
)
MD
=−⋅− ⋅
(
1
ν
w
12
12
)
q
⋅−
1
ν
π
x
π
x
0
M
=
⋅
cos
1
⋅
cos
2
12
2
a
b
11
ab
⋅⋅ ⋅ +
π
2
2
2
ab
Przypadek szczególny:
płyta kwadratowa,
a
=
a
x
q
,
E
ν
b
x
Maksymalne ugi
ęcie płyty:
4
qa
⋅
4
qa
D
⋅
max
w
=
0
≈
0, 00257
⋅
0
4
π
2
⋅
D
a
dla:
x
=
1
2
Maksymalne momenty zginające w
płycie:
2
qa
⋅
(
)
max
M
=
max
M
=+⋅
1
ν
0
11
22
2
4
π
4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann •
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
[ Pobierz całość w formacie PDF ]