Trautman A - Grupy oraz ich reprezentacje. Z zastosowaniami w fizyce. wyd 4, Download, - ▧ Normalne, ● Matematyka, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]GRUPYORAZICHREPREZENTACJE
ZZASTOSOWANIAMIWFIZYCE
Wydanieczwarterozszerzone
AndrzejTrautman
InstytutFizykiTeoretycznej
UniwersytetWarszawski
Warszawa2011
ii
Copyright c
2011 by Andrzej Trautman
Spis tre±ci
Wst¦p i oznaczenia
1
Wst¦p
1
Oznaczenia
1
Literatura
4
4
I. Wst¦pne wiadomo±ci z algebry
5
1. Definicje: grupy, pier±cienia, ciała i modułu
5
1.1. Grupy
5
1.2. Pier±cienie i ciała
10
1.3. Moduły i przestrzenie wektorowe
13
1.4. Struktury rzeczywiste, zespolone i kwaternionowe
17
2. Algebry
20
2.1. Definicje i przykłady
20
2.2. Algebry z gradacj¡
25
2.3. Algebra tensorowa
26
2.4. Algebra Grassmanna
26
2.5. Algebra symetryczna
28
2.6. Superalgebry Liego
29
2.7. Algebra Cliorda
31
2.8. Wektory i warto±ci własne endomorfizmu
35
2.9. Wyznaczniki kwaternionowe
38
Zadania
39
II. Grupy: wa»ne konstrukcje i przykłady
42
1. Generatory i relacje
42
2. Grupy nilpotentne i rozwi¡zalne
43
3. Grupy z dodatkow¡ struktur¡
44
4. Grupy przekształce«
44
4.1. Działania i odwzorowania splataj¡ce
44
4.2. Stabilizatory i orbity
46
4.3. Automorfizmy
46
4.4. Przestrzenie jednorodne
47
4.5. Wzory Cauchy’ego-Frobeniusa
47
5. Ci¡gi dokładne i rozszerzenia grup
48
6. Sko«czone grupy obrotów
50
7. Grupy
SL
(2
,
C)i
SU
(2)
52
7.1. Wyznacznik funkcji wykładniczej
52
7.2. Macierze Pauliego
53
7.3. Homomorfizm
SL
(2
,
C)
!
SO
0
(1
,
3)
53
7.4. Homomorfizm
SU
(2)
!
SO
(3)
55
Zadania
56
III. Reprezentacje grup i algebr: podstawowe poj¦cia
61
1. Definicje i przykłady
61
1.1. Reprezentacje grup
61
iii
iv
SPIS TRECI
1.2. Reprezentacje algebr
61
1.3. Nieprzywiedlno±¢ i rozkładalno±¢
62
1.4. Kompleksyfikacja i forma rzeczywista reprezentacji
62
1.5. Reprezentacje pseudounitarne i unitarne
63
2. Lematy Schura
64
3. Charakter reprezentacji
65
4. Działania na reprezentacjach
65
4.1. Suma prosta reprezentacji
65
4.2. Iloczyn tensorowy reprezentacji
65
4.3. Reprezentacja kontragredientna (albo: dualna)
66
4.4. Reprezentacja sprz¦»ona
67
Zadania
70
IV. Reprezentacje grup sko«czonych
71
1. Przykłady reprezentacji
71
2. U±rednianie na grupie
71
3. Reprezentacja regularna
72
4. Relacje ortogonalno±ci
72
5. Twierdzenia o wymiarze
76
6. Tablice charakterów
77
6.1. Zagadnienie Clebscha-Gordana
78
7. Twierdzenie Frobeniusa-Schura
79
8. Ograniczanie reprezentacji i reprezentacje indukowane
80
8.1. Ograniczanie reprezentacji do podgrupy
80
8.2. Reprezentacje indukowane
80
Zadania
81
V. Algebra grupowa i tablice Younga
84
1. Algebra grupowa
84
2. Lewe ideały i idempotenty
85
3. Twierdzenie o idempotentach
86
4. Reprezentacje grupyS
n
87
Zadania
88
VI. Rozmaito±ci gładkie i pola wektorowe
90
1. Mapy i atlasy
90
2. Rozmaito±ci gładkie
90
3. Pola wektorowe
91
3.1. Przestrze« styczna
91
3.2. Wi¡zka styczna
92
3.3. Trzy definicje pól wektorowych
92
3.4. Przenoszenie pól wektorowych
93
4. Wi¡zki włókniste
94
5. Formy ró»niczkowe i całkowanie
96
5.1. Wi¡zki form
96
5.2. Pochodna zewn¦trzna
96
5.3. Cofanie form
96
5.4. Orientacja rozmaito±ci
97
5.5. Całkowanie
97
6. Algebra Cartana
98
7. Kohomologie de Rhama
100
Zadania
101
VII. Grupy Liego
102
1. Algebra Liego grupy Liego
102
2. Odwzorowanie wykładnicze
103
SPIS TRECI
v
3. Algebra Liego grupy
GL
(
V
)
103
4. Morfizmy grup Liego
105
5. Reprezentacja doł¡czona grupy i algebry Liego
105
6. Forma i równanie Maurera-Cartana
108
7. Zastosowanie: podstawy teorii pól z cechowaniem
109
8. Podstawowe twierdzenie o grupach Liego
111
9. Całki niezmiennicze na grupach Liego
111
9.1. Moduł grupy Liego
112
10. Działanie grupy Liego na rozmaito±ci
113
11. Wi¡zki główne i stowarzyszone
114
11.1. Wi¡zki główne
114
11.2. Wi¡zki stowarzyszone
115
11.3. Morfizmy
115
11.4. Łamanie symetrii
117
11.5. Wi¡zka baz rozmaito±ci
118
11.6.
G
-struktury
119
12. Grupy zwarte
120
Zadania
121
VIII. Algebry Liego
124
1. Automorfizmy i ró»niczkowania algebr Liego
124
2. Formy niezmiennicze na algebrach Liego
125
2.1. Forma Killinga
125
2.2. Algebry Liego nilpotentne i rozwi¡zalne
126
2.3. Radykał algebry Liego
128
2.4. Proste algebry Liego
129
3. Lista prostych, zwartych i jednospójnych grup Liego
129
4. Operator Casimira
130
5. Algebra obwiednia algebry Liego
132
6. Kompleksyfikacja i realifikacja algebr Liego; forma rzeczywista
132
6.1. Kompleksyfikacja i realifikacja
132
6.2. Forma rzeczywista zespolonej algebry Liego
133
7. Reprezentacje algebry Liegosl(2
,
C)
133
Zadania
136
IX. Zastosowania teorii grup w fizyce
137
1. Geometria mechaniki klasycznej
138
1.1. Elementy geometrii symplektycznej
138
1.2. Równania Hamiltona, prawa zachowania i odwzorowanie momentu
141
1.3. Wa»ny przykład: zagadnienie Keplera i atom wodoru
142
2. Opis teorii kwantowych przy pomocy przestrzeni Hilberta
143
3. Nierelatywistyczna mechanika kwantowa jednej cz¡stki
143
4. Zwyrodnienie i reguły wyboru
144
4.1. Zwyrodnienie widma energii
144
4.2. Symetrie i stałe ruchu
145
4.3. Reguły wyboru
146
5. Operatory tensorowe
146
6. Twierdzenie Wignera-Eckarta
146
Zadania
146
IX. Półproste algebry Liego
147
1. Wst¦p: pierwsza orientacja
147
1.1. Algebrasl(2
,
C)
147
1.2. Reprezentacja spinorowa algebrysl(2
,
C)
147
1.3. Podalgebra Cartana algebry półprostej
148
[ Pobierz całość w formacie PDF ]