Tablice matematyczne, Studia ATH AIR stacjonarne, Rok I, Semestr I, Analiza matematyczna I
[ Pobierz całość w formacie PDF ]//-->TABLICA WZORÓW MATEMATYCZNYCHJAROSŁAW JABŁONKASpis treściOznaczenia i konwencje1. Elementy geometrii analitycznej2. Potęgi, pierwiastki, logarytmy3. Wzory elementarne4. Trygonometria5. Liczby zespolone6. Macierze7. Układy równań8. Granice9. Rachunek różniczkowy10. Badanie przebiegu zmienności funkcji.11. Rachunek całkowy12. Wykresy funkcji13. Tabele wartości funkcjiLiteratura112345689101112131519Oznaczenia i konwencjeN={0,1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych;Q- zbiór liczb wymiernych;α, Aβ, Bγ,Γδ,∆,Eς, Zalfabetagammadeltaepsilondzetaη, Hθ,Θι, Iκ, Kλ,Λµ, Metatetajotakappalambdami�½, Nξ,Ξo, Oπ,Πρ, Pσ,ΣZ- zbiór liczb całkowitych;C- zbiór liczb zespolonychτ, Tυ, Yφ,Φχ, Xψ,Ψω,ΩtauypsilonfichipsiomeganiksiomikronpirosigmaR- zbiór liczb rzeczywistych;Przyjęto konwencję, żea, b, c, d∈R,f, g, h−oznaczają funkcje;r, s, t, u∈R,k, l, m, n∈NA, B, C−macierze.a, b, c−wektory;Nie wszystkie wzory są prawdziwe dla dowolnych liczb (rzeczywistych bądź zespolonych). Aby stosować wzory,należy ustalić ich dziedzinę (warunki sensowności liczbowej, dotyczące np. niezerowania się mianownika czynieujemności pierwiastka kwadratowego).Warunki sensowności liczbowej wyrażeń zostały pominięte.Dłuższe wypowiedzi (definicje, twierdzenia) ujęto w znaki ... .1.Elementy geometrii analitycznejWektory.Wektory oznaczamy w druku czcionką pogrubionąa.Wektor zerowy:0.Należy odróżniać wektorzerowyod liczby zero0.axa=axi+ayj+azk=ay;az|a|= 1i=,j=1,k=1(1.1)(1.2)a2+a2+a2xyz1TABLICA WZORÓW MATEMATYCZNYCH2(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)a◦b=b◦a;a◦b=a·b=ab=|a| · |b| ·cosφa◦b=axbx+ayby+azbzr·(a◦b)= (ra)◦b;a◦b= 0⇐⇒a⊥ba◦a=a2=|a|2c=a×b,gdy (1)a=0,b=0,(2)c⊥aic⊥b,(3) ciąg wektorówa, b, cma orientację prawoskrętnąoraz (4):(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)r(a×b)= (ra)×b;|c|=|a| · |b| ·sinφ.ia×b=axbxjaybykazbza×(b +c)=a×b+a×ca×a=a×b=−b ×a;a×b= 0⇐⇒a b;Rysunek 1.1.a)Współrzędne kartezjańskiexyzx2+y2Tabelka 1.1 arctgyxzx2+y2+z2√arctgarctgyxx2+y2zb)Współrzędne walcowe Współrzędne sferyczne= cosϕ=rsinψcosϕ= sinϕ=rsinψsinϕ=z=rcosψ==ϕ=z=2=rsinψ=ϕ=rcosψ+z2z=r=ψ=ϕ=arctg=ϕ2.Potęgi, pierwiastki, logarytmy(2.1)(2.2)rsa1=a;a−r=1;ar;ra= 1 (a = 0) ;an=rsk=?k1a−n=√nak√nak;(2.3)(2.4)a·a=ar+sara:a=s=ar−s;aabr(ar) =ar·sarbrs(a·b)=ar·br;=TABLICA WZORÓW MATEMATYCZNYCH3(2.5)√na·√nb=√nab;√na:√n√nab=√=nbna;bn√ka=(n·k)√a(2.6)(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)logab=c⇐⇒ac=blog10b= logb;alogab=b;loga(x·y)= logax+ logay;logaxr=r·logax;logeb= lnblogaab=blogax= logax−logayylogdb,logdalogab=3.Wzory elementarne(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)3(a +b)=a2+ 2ab +b2;22(a−b)=a2−2ab +b22(a +b+c)=a2+b2+c2+ 2ab + 2ac + 2bc(a +b)=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3;a2−b2= (a−b)(a +b; )(a−b)=a3−3a2b+ 3ab2−b323(a +b+c)=a2+b2+c2+ 2ab + 2ac + 2bca3+b3= (a +b) a2−ab+b2a3−b3= (a−b) a2+ab+b2;an−bn= (a−b) an−1+an−2b+. . .+abn−2+bn−1Rysunek 3.1.Trójkąt Pascala(3.7)0! = 1, 1! = 1,, n!= (n−1)!·n;nn+kk+1nkn+1k+1=n!(n−k)!·k!(3.8)Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny(3.9)=an=a1+ (n−1)r;an=a1·qn−1;Sn=a1+an2a1+ (n−1)r·n=·n221−qn;1−qS=a11−q(3.10)Średnie liczb(3.11)An=Sn=a1·a1+a2+. . . an;nGn=√na1a2·. . .·an;Hn=1a1+1a2n+...+1anKapitał w oprocentowaniu składanym.(3.12)Km·n=K1 +pmn·mTABLICA WZORÓW MATEMATYCZNYCH44.TrygonometriaRysunek 4.1.a)b)(4.1)(4.2)sinα=y;rcosα=x;rtgα=tgα=sinα;cosαα=x·y;xctgα=xysin2α+ cos2α= 1 ;tgα·ctgα= 1180oπ(4.3)(4.4)π≈3,14159265 ;x=α·π;180oππ≈1,57079633 ;≈0,78539816 ; 2π≈6,2831853124α[o]1530 45 607590 180ππππ5ππα[rad]√12√π6432√√√12√236+ 21sinα√6−√2√14222√√4√Tabelka 4.16+ 2326− 21cosα1−14√2224√√√tgα0 2−33313 2+ 3−√√√√3ctgα−2 + 33 12−3 0−3sin (α−β)= sinαcosβ−cosαsinβcos (α−β)= cosαcosβ+ sinαsinβtg(α−β)=tgα−tgβ1 +tgαtgβctgαctgβ+ 1ctgα−ctgβ(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)(4.12)sin (α +β)= sinαcosβ+ cosαsinβ;cos (α +β)= cosαcosβ−sinαsinβ;tg(α +β)=ctg(α +β)=tgα+tgβ;1−tgαtgβctgαctgβ−1;ctgα+ctgβctg(α−β)=sin 2α = 2 sinαcosαcos 2α = cos2α−sin2α= 1−2 sin2α= 2 cos2α−1sin 3α = 3 sinα−4 sin3α;2tgαtg2α=;1−tg2αsinα=±21−cosα;2cos 3α = 4 cos3α−3 cosαctg2α−1ctg2α=2ctgαcosα=±21 + cosα2(4.13)(4.14)tgα=±2α=±21−cosα1−cosαsinα=±=±1 + cosαsinα1 + cosα1 + cosα1 + cosαsinα=±=±1−cosαsinα1−cosα(4.15)ctgTABLICA WZORÓW MATEMATYCZNYCH5(4.16)sinα+ sinβ= 2 sinα+βα−βcos;22α+βα−βcos;22sinα−sinβ= 2 cosα+βα−βsin22α+βα−βsin22(4.17)(4.18)(4.19)sinα+ sinβ= 2 sinsinα−sinβ= 2 coscos (−α) = cosαctg(−α) =−ctgαsin (−α) =−sinα;tg(−α) =−tgα;Schematy wzorów redukcyjnych(4.20)f un(2k·90o±α)=±fun α;f un((2k + 1)·90o±α)=±cofun α(4.21)f un(k·π±α)=±fun α;f un(2k + 1)·π±α=±cofun α2Twierdzenie sinusów oraz twierdzenie cosinusów.(4.22)abc=== 2R ;sinαsinβsinγc2=a2+b2−2ab cosγ5.Liczby zespolone√(5.1)i=−1;i2=−1;i4n+k=ikPostać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza(5.2)z=a+bi;Re(z) =a;Im(z) =b;|z|=a2+b2;z=a−bi¯(5.3)z=r(cosφ+isinφ);r=a2+b2(5.4)z=reiφ;eiφ= cosφ+isinφRysunek 5.1.a)b)(5.5)z1=|z1|(cosφ+isinφ) , z2=|z1|(cosϕ+isinϕ) , z=z1·z2=⇒z=|z1| · |z1|[cos (φ +ϕ)+isin (φ +ϕ)](5.6)[r (cosφ+isinφ)]=rn(coskφ+isinkφ)k(5.7)ωk=nr(cosφ+isinφ)=√nrcosφ+ 2kπφ+ 2kπ+isinnn,k= 0, 1,. . . , n−1 [ Pobierz całość w formacie PDF ]